【题目】如图,已知为的直径,是弦,,,于.
求证:是的切线;
若,求的长度.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)连接OC,BC,由AB为圆O的直径,得到∠ACB为直角,又∠BAC=30°,得到∠ABC=60°,再由OC=OB,利用等边对等角得到∠OBC=∠OCB,得到∠OCB的度数为60°,又∠ABD=120°,利用∠ABD-∠ABC求出∠CBD的度数,在直角三角形BCD中,求出∠BCD的度数为30°,可得出∠OCD为直角,即CD与OC垂直,即可得出CD为圆O的切线,得证;
(2)在直角三角形ABC中,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半,根据AB的长求出BC的长,在直角三角形BCD中,利用锐角三角函数定义表示出cos∠BCD,再由BC的长及特殊角的三角函数值即可求出CD的长.
解:证明:连接,,如图所示;
∵为圆的直径,
∴,又,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
则为圆的切线;在中,,,
∴,
在中,,,
∴.
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【题目】如图,△ABC中,AB=8,AC=5,BC=7,点D在AB上一动点,线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE,AE的最小值为________
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【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线AC的中点为O,点G,H在对角线AC上,AG=CH,直线GH绕点O逆时针旋转α角,与边AB、CD分别相交于点E、F(点E不与点A、B重合).
(1)求证:四边形EHFG是平行四边形;
(2)若∠α=90°,AB=9,AD=3,求AE的长.
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【题目】小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去扬州马可波罗花世界游玩.
小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为________;
求他们三人在同一个半天去游玩的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,DE是边AB的垂直平分线,交AB于E、交AC于D,连接BD.
(1)若∠A=40°,求∠DBC的度数.
(2)若△BCD的周长为16cm,△ABC的周长为26cm,求BC的长.
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【题目】(2017四川省达州市,第16题,3分)如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,连接AE,将矩形沿AE翻折,使点B落在CD边F处,连接AF,在AF上取点O,以O为圆心,OF长为半径作⊙O与AD相切于点P.若AB=6,BC=,则下列结论:①F是CD的中点;②⊙O的半径是2;③AE=CE;④.其中正确结论的序号是__________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(﹣2,﹣2),C(2,﹣1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)写出点A1,B1,C1的坐标;
(3)求△ABC的面积.
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【题目】如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1,0),则称此抛物线为定点抛物线.
(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的解析式.小敏写出了一个正确的答案:y=2x2+3x-5.请你写出一个不同于小敏的答案;
(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2+2bx+c,求该抛物线的顶点最低时的解析式.
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【题目】已知二次函数的图象与轴交于、两点,与轴交于点,点的坐标为,且当和时二次函数的函数值相等.
()求实数、的值.
()如图,动点、同时从点出发,其中点以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动,点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动,当点停止运动时,点随之停止运动.设运动时间为秒.连接,将沿翻折,使点落在点处,得到.
①是否存在某一时刻,使得为直角三角形?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
②设与重叠部分的面积为,求关于的函数关系式.
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