精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A（6，0），点C（0，4），AB=5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
（4）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点A（6，0），AB=5OB，
∴点B（1，0），
设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则由题意可得： $\text{[math]}$ ，
解之得 $\text{[math]}$ ，
∴所求抛物线的解析式为：y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+4，
∵y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+4= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
∴所求抛物线的顶点坐标为：（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）；

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+4，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示点E到OA的距离．
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S=2S_△OAE=2× $\text{[math]}$ ×OA•|y|=-6y=-6（ $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+4）=-4x²+28x-24，
自变量x的取值范围为：1＜x＜6；

（3）根据题意得：-4x²+28x-24=24，
解之，得x₁=3，x₂=4，
∴所求的点E有两个，分别为E₁（3，-4），E₂（4，-4），
∵点E₁（3，-4），
∴OE=5，AE= $\text{[math]}$ =5，
∴OE=AE，
∴平行四边形OEAF是菱形，
∵点E₂（4，-4），
∴OE=4 $\text{[math]}$ ，AE= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
∴不满足OE=AE，
∴平行四边形OEAF不是菱形；

（4）∵当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E坐标只能（3，-3），而坐标为（3，-3）点不在抛物线上，
∴不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．
分析：（1）由A（6，0），AB=5OB，即可求得点B的坐标，又由点A，B，C在抛物线上，利用待定系数法求二次函数的解析式，然后利用配方法求得顶点坐标；
（2）由设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即-y＞0，-y表示点E到OA的距离，又由S=2S_△OAE=2× $\text{[math]}$ ×OA•|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；
（3）由平行四边形OEAF的面积为24，可得方程：-4x²+28x-24=24，解此方程可求得E点坐标，然后分析OE与AE的关系，即可判定平行四边形OEAF是否为菱形；
（4）由当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，可得此时点E坐标只能（3，-3），而坐标为（3，-3）点不在抛物线上，故可判定不存在点E，使平行四边形OEAF为正方形．
点评：此题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求顶点坐标、平行四边形的性质、菱形的判定以及正方形的判定等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想、方程思想与函数思想的应用．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A（6，0），点C（0，4），

AB=5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
（4）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

（2012•锦州二模）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，已知点B（8，0），tan∠OCB=2，△ABC的面积为8．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若平行于x轴的动直线EF从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发在线段BO上以每秒2个单位的速度运动，连接PF、AF，设运动时间为t秒．△AFP的面积为S，求S与t的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，是否存在t值，使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．