Question

3．已知抛物线y=x²+2nx+n²+n的顶点为P，直线y=4x+3分别交x、y轴于点N、M．
（1）若点P在直线MN上，求n的值；
（2）是否存在过（0，2）的直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B右侧）．使AB为定长，若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，是否存在以AB为直径的圆Q经过点O？若存在，求这个圆圆心Q的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到顶点坐标（-n，n），代入直线y=4x+3中，即可解决问题．
（2）存在．如图中，由顶点P（-n，n），所以抛物线的顶点在直线y=-x上运动，所以n在变化时，相当于抛物线y=x²的顶点在直线上运动，所以过点D（0，2）作直线平行于直线y=-x与抛物线交于A、B两点，根据对称性，AB的长度不变．利用方程组即可解决问题．
（3）存在．如图2中，由（2）可知AB=3$\sqrt{2}$，可以设A（m，-m+2），则B（m-3，-m+5），AB是直径，推出∠AOB=90°，由OA²+OB²=AB²，列出方程求出m，推出A、B坐标即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=x²+2nx+n²+n=（x+n）²+n，
∴顶点P（-n，n），
∵顶点P（-n，n）在直线y=4x+3上，
∴n=-4n+3，
∴n=$\frac{3}{5}$．

（2）存在．
理由：如图1中，

∵y=x²+2nx+n²+n=（x+n）²+n，
∴顶点P（-n，n），
∴抛物线的顶点在直线y=-x上运动，
∴n在变化时，相当于抛物线y=x²的顶点在直线上运动，
∴过点D（0，2）作直线平行于直线y=-x与抛物线交于A、B两点，根据对称性，AB的长度不变．
不妨设抛物线为y=x²，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A（1，1），B（-2，4），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

（3）存在．
理由：如图2中，

由（2）可知AB=3$\sqrt{2}$，可以设A（m，-m+2），则B（m-3，-m+5），
∵AB是直径，
∴∠AOB=90°，
∴OA²+OB²=AB²，
∴m²+（-m+2）²+（m-3）²+（-m+5）²=18，
整理得m²-5m+5=0，
解得m=$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$，
∴A（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$），B（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或A（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$），B（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$），
∴这个圆圆心Q的坐标为（$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-2-\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{2-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$）．
补充方法二：设Q（m，-m+2），由QA=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，可得m²+（2-m）²=$\frac{9}{2}$，求出m即可．

点评 本题考查二次函数综合题、平移变换、勾股定理、一次函数等知识，解题的关键是学会理解题意，发现抛物线的顶点在直线y=-x上是解题的突破点，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．