Question

10．如图，∠A=40°，且$\widehat{BE}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，则∠ACE的度数为15°．

Answer 1

分析 连接BC，由$\widehat{BE}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，①根据等弧所对的弦相等，可得：BE=BC=CD；②可得$\widehat{CD}+\widehat{DE}=\widehat{BE}+\widehat{DE}$，即$\widehat{CE}=\widehat{BD}$．然后根据等弧所对的圆周角相等，可得：∠DCB=∠EBC，进而得到AB=AC，然后由三角形内角和定理，可求∠ABC及∠ACB的度数为：$\frac{180°-∠A}{2}$=70°，由BE=BC，可得：∠BEC=∠BCE，然后由根据三角形内角和定理，可求∠BEC=$\frac{180°-∠ABC}{2}$=55°，然后根据三角形外角的性质即可求∠ACE的度数．

解答 解：连接BC，如图所示，

∵$\widehat{BE}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴BE=BC=CD，
$\widehat{CD}+\widehat{DE}=\widehat{BE}+\widehat{DE}$，即$\widehat{CE}=\widehat{BD}$，
∴∠DCB=∠EBC，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-∠A}{2}$=70°，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠BEC=$\frac{180°-∠ABC}{2}$=55°，
∵∠BEC=∠A+∠ACE，
∴∠ACE=55°-40°=15°，
故答案为：15°．

点评 此题考查了圆周角定理：等弧所对的弦相等、等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，等腰三角形判定与性质及三角形外角的性质，解题的关键是：添加辅助线，构造等腰三角形．