Question

14．如图，已知一次函数y=$\frac{1}{2}$x+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象交于点A（-1，2）和点B，点C在y轴上．
（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；
（2）当$\frac{1}{2}$x+b＜$\frac{k}{x}$时，请直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；
（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．

∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象过点A（-1，2），
∴k=-1×2=-2，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）；
∵一次函数y=$\frac{1}{2}$x+b的图象过点A（-1，2），
∴2=-$\frac{1}{2}$+b，解得：b=$\frac{5}{2}$，
∴一次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$．
联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴点A的坐标为（-1，2）、点B的坐标为（-4，$\frac{1}{2}$）．
∵点A′与点A关于y轴对称，
∴点A′的坐标为（1，2），
设直线A′B的解析式为y=mx+n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{2=m+n}\\{\frac{1}{2}=-4m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{10}}\\{n=\frac{17}{10}}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为y=$\frac{3}{10}$x+$\frac{17}{10}$．
令y=$\frac{3}{10}$x+$\frac{17}{10}$中x=0，则y=$\frac{17}{10}$，
∴点C的坐标为（0，$\frac{17}{10}$）．
（2）观察函数图象，发现：
当x＜-4或-1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴当$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$＜-$\frac{2}{x}$时，x的取值范围为x＜-4或-1＜x＜0．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、轴对称中的最短线路问题、利用待定系数法求函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）求出直线A′B的解析式；（2）找出交点坐标．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．