Question

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交轴于A、B两点，开口向下的抛物线经过点A、B，且其顶点在⊙C上．

（1）求出A、B两点的坐标；（5分）
（2）试确定此抛物线的解析式；（5分）
（3）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）

Answer 1

（1）作CH⊥x轴，垂足为H，

根据垂径定理，得 AH=BH.
∵ CH=1，半径CB=2，
根据勾股定理，得HB =
故，
（2）由圆与抛物线的对称性可知，抛物线的顶点P的坐标为（1， 3）
设抛物线解析式为
把点代入上式，解得a = -1    
∴             
即 （没有这一步不扣分）
（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形.
∴ PC∥OD且PC=OD．
∵ PC∥y轴，
∴ 点D在轴上．   
又∵ PC = 2，
∴ OD = 2，即D（0，2）．
又D（0，2）满足，
∴ 点D在抛物线上
所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．

解析