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在平面直角坐标系xOy中,点分别在轴、轴的正半轴上,且,点为线段的中点.
(1)如图1,线段的长度为________________;

(2)如图2,以为斜边作等腰直角三角形,当点在第一象限时,求直线所对应的函数的解析式;

(3)如图3,设点分别在轴、轴的负半轴上,且,以为边在第三象限内作正方形,请求出线段长度的最大值,并直接写出此时直线所对应的函数的解析式.

图2

 

 
(1)5 (2)直线OC所对应的函数解析式为(3)线段MG取最大值10+
此时直线MG的解析式

试题分析:(1)根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半得线段的长度为5.
为斜边作等腰直角三角形,当点在第一象限时,过点C分别作CP⊥x轴于P,CQ⊥y轴于Q.
所以∠CQB=∠CPA=90°,又有∠QOP=90°,∠QCP=90°.∠BCA=90°,∠BCQ=∠ACP.BC=AC,
可证得△BCQ≌△ACP.从而得CQ=CP.不妨设C点的坐标为(a,a)(其中).
设直线OC所对应的函数解析式为,解得k=1,所以直线OC所对应的函数解析式为(3)取DE的中点N,连结ON、NG、OM.因为∠AOB=90°,所以OM=.同理得ON=5.
在正方形DGFE,N为DE中点,DE=10,由勾股定理得NG=.在点M与G之间总有MO+ON+NG由于∠DNG的大小为定值,只要,且M、N关于点O中心对称时,M、O、N、G四点共线,此时等号成立.这时线段MG取最大值10+
此时直线MG的解析式
试题解析:(1)5
(2)如图1,过点C分别作CP⊥x轴于P,CQ⊥y轴于Q.
∴∠CQB=∠CPA=90°,

∵∠QOP=90°,
∴∠QCP=90°.
∵∠BCA=90°,
∴∠BCQ=∠ACP.
∵BC=AC,
∴△BCQ≌△ACP.
∴CQ=CP.
∵点在第一象限,
∴不妨设C点的坐标为(a,a)(其中).
设直线OC所对应的函数解析式为
,解得k=1,
∴直线OC所对应的函数解析式为.           4分
(3)取DE的中点N,连结ON、NG、OM.
∵∠AOB=90°,
∴OM=
同理ON=5.
∵正方形DGFE,N为DE中点,DE=10,
∴NG=
在点M与G之间总有MO+ON+NG(如图2),
由于∠DNG的大小为定值,只要,且M、N关于点O中心对称时,M、O、N、G四点共线,此时等号成立(如图3).
∴线段MG取最大值10+
此时直线MG的解析式
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10
20
30
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60
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50
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