Question

已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，过A点作⊙O₁的切线交⊙O₂于点E，连接EB并延长交⊙O₁于点C，直线CA交⊙O₂于点D．
（1）如图，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立？证明你的结论；
（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O₂有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O₁的直径．

Answer 1

（1）解：EA=ED成立．
证明：连接AB，在EA延长线上取点F；
∵AE是⊙O₁的切线，切点为A，
∴∠FAC=∠ABC，
∵∠FAC=∠DAE（对顶角），
∴∠ABC=∠DAE，
而∠ABC是⊙O₂内接四边形ABED的外角，
∴∠ABC=∠D，
∴∠DAE=∠D，
∴EA=ED；

（2）当点D与点A重合时，
直线CA与⊙O₂只有一个公共点，
所以，直线CA与⊙O₂相切，
直径为4．
分析：（1）本题可通过证角相等来证边相等．连接AB，那么ABED就是圆O₂的内接四边形，根据内接四边形的性质，∠ABC=∠D，那么只要再得出∠DAE=∠ABC即可得证，我们发现∠EAD的对顶角正好是圆O₁的弦切角，因此∠DAE=∠ABC，由此便可求出∠DAE=∠D，根据等角对等边也就得出本题要求的结论了；
（2）DA重合时，CA与圆O₂只有一个交点，即相切．那么CA，AE分别是⊙O₁和⊙O₂的直径（和切线垂直弦必过圆心），根据切割线定理AC₂=CB•CE，即可得出AC=4，即圆O₁的直径是4．
点评：本题主要考查了切线的性质，弦切角定理切割线定理等知识点的综合应用．