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【题目】△ABC中,∠ABC=90°,已知AB=3BC=4,点Q是线段AC上的一个动点,过点QAC的垂线交直线AB于点P,当△PQB为等腰三角形时,线段AP的长为   

【答案】或6.

【解析】试题解析:(2)RtABC中,AB=3BC=4,由勾股定理得:AC=5.

∵∠QPB为钝角,

∴当PQB为等腰三角形时,

(I)当点P在线段AB上时,如题图1所示:

∵∠QPB为钝角,

∴当PQB为等腰三角形时,只可能是PB=PQ

(1)可知,AQPABC

解得:

(II)当点P在线段AB的延长线上时,如题图2所示:

∵∠QBP为钝角,

∴当PQB为等腰三角形时,只可能是PB=BQ.

BP=BQ∴∠BQP=P

∴∠AQB=A

BQ=AB

AB=BP,点B为线段AP中点,

AP=2AB=2×3=6.

综上所述,PQB为等腰三角形时,AP的长为6.

故答案为: 6.

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