Question

2．L为正实数，对于某一函数图象上意两点P₁（x₁，y₁）P₂（x₂，y₂），若|y₁-y₂|≤L|x₁-x₂|恒成立，则称这个函数为李氏函数，L为李氏系数．
（1）判断y=2x-1和y=$\frac{1}{x}$是不是李氏函数；
（2）若y=$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{2}$＜x＜1）是李氏函数，求L的取值范围；
（3）若y=x³（a≤x≤a+1）是李氏函数，且L_min=3，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用李氏函数的定义判断即可；
（2）先利用李氏函数的定义化简得到L≥|$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$|，再利用x的范围即可得出L的范围；
（3）先利用李氏函数的定义得出结论化简得到L≥|x₁²+x₂²+x₁x₂|=|（x₁+$\frac{1}{2}$x₂）²+$\frac{3}{4}$x₂²|，即可得出x₁²+x₂²+x₁x₂≤3，最后分两种情况讨论即可得出结论．

解答 解：（1）在直线y=2x-1上，取两个点P₁（x₁，y₁）P₂（x₂，y₂），
∴y₁=2x₁-1，y₂=2x₂-1，
∴|y₁-y₂|=2|（x₁-x₂）|，
∵|y₁-y₂|≤L|x₁-x₂|恒成立，
∴2|x₁-x₂|≤L|x₁-x₂|，
∴L≥2，
即：存在正实数L，|y₁-y₂|≤L|x₁-x₂|恒成立，
∴y=2x-1是李氏函数；

在双曲线y=$\frac{1}{x}$上，取两个点P₁（x₁，y₁）P₂（x₂，y₂），
∴y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∴|y₁-y₂|=|$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$|，
∵|y₁-y₂|≤L|x₁-x₂|恒成立，
∴|$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$|≤L|x₁-x₂|，
∴L≥$\frac{1}{|{x}_{1}{x}_{2}|}$，
∵x₁，x₂是非零实数，
∴不存在正实数L，|y₁-y₂|≤L|x₁-x₂|恒成立，
∴y=$\frac{1}{x}$不是李氏函数；

（2）在双曲线y=$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{2}$＜x＜1）上，取两个点P₁（x₁，y₁）P₂（x₂，y₂）（$\frac{1}{2}$＜x₁＜x₂＜1）
∴y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∵y=$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{2}$＜x＜1）是李氏函数，
∴|y₁-y₂|≤L|x₁-x₂|恒成立，
∴|y₁-y₂|=|$\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}$|=|$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$|≤L|x₁-x₂|，
∴L≥|$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$|，
∵$\frac{1}{2}$＜x₁＜x₂＜1，
∴$\frac{1}{4}$＜x₁x₂＜1，
∴1＜$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜4
∴L≥4，

（3）在y=x³的图象上，取两个点P₁（x₁，y₁）P₂（x₂，y₂），（a≤x₁＜x₂≤a+1）
∴y₁=x₁³，y₂=x₂³，
∵y=x³（a≤x≤a+1）是李氏函数，
∴|y₁-y₂|≤L|x₁-x₂|恒成立，
∴|y₁-y₂|=|x₁³-x₂³|=|x₁-x₂|•|x₁²+x₂²+x₁x₂|≤L|x₁-x₂|，
∴L≥|x₁²+x₂²+x₁x₂|=|（x₁+$\frac{1}{2}$x₂）²+$\frac{3}{4}$x₂²|，
∵a＜x₁＜x₂＜a+1，（x₁+$\frac{1}{2}$x₂）²+$\frac{3}{4}$x₂²≥0，
∴x₁²+x₂²+x₁x₂≤L
∵L_min=3
∴x₁²+x₂²+x₁x₂≤3，
当|a|≥|a+1|时，即：a≤-$\frac{1}{2}$时，a²+a²+a²≤3，
∴-1≤a≤1，
∴-1≤a≤-$\frac{1}{2}$；
当|a|＜|a+1|时，即：a＞-$\frac{1}{2}$时，（a+1）²+（a+1）²+（a+1）²≤3，
∴-1≤a+1≤1，
∴-2≤a≤0，
∴-$\frac{1}{2}$＜a≤0
即：a的取值范围为-1≤a≤0．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了新定义，解不等式，分类讨论的思想；解本题的关键是理解新定义．