Question

有一系列等式：
1×2×3×4+1=（1²+3×1+1）²；
2×3×4×5+1=（2²+3×2+1）²；
3×4×5×6+1=（3²+3×3+1）²；
4×5×6×7+1=（4²+3×4+1）²；
（1）根据你的观察，归纳，发现规律，写出9×10×11×12+1的结果；
（2）试猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1的结果？
（3）证明你的猜想．

Answer 1

解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到9×10×11×12+1=（9²+3×9+1）²=109²；

（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²；

（3）证明：等式左边=（n²+3n）（n²+3n+2）+1=n⁴+6n³+9n²+2n²+6n+1=n⁴+6n³+11n²+6n+1，
等式右边=（n²+3n+1）²=（n²+1）²+2•3n•（n²+1）+9n²=n⁴+2n²+1+6n³+6n+9n²=n⁴+6n³+11n²+6n+1，
左边=右边．
分析：（1）根据规律列式进行计算即可得解；
（2）观察规律不难发现，四个连续自然数的乘积与1的和等于第一个数的平方，加上前第一个数的3倍再加上1然后平方．
（3）将等式的左边展开整理后即可得到等于右边．
点评：此题考查了完全平方公式，仔细观察题目信息，得到变化规律是解题的关键，利用多项式的乘法运算法则进行计算时较为复杂，要仔细运算．