Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为射线CB上一点，连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF，直线EF与直线BC交于点M，若AB=2$\sqrt{2}$，BD=1，则CM的长为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 分析条件得出△ABD≌△ACF，从而得出CF=BD=1，FC垂直BC，由AD∥EF得知∠FMC=∠ADP，利用同角的正切值相等即可得出结论．

解答 解：根据题意可知，分两种情况：
①D点在线段BC上，连接CF，过点A做AP垂直于BC，垂足为点P，如图1，

∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AB=2$\sqrt{2}$，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
AP=AB×sin∠ABC=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，BP=AB×cos∠ABC=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
又∵BD=1，BP=BD+DP，
∴DP=1，
∵∠BAC=∠DAF=90°，∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠DAC+∠CAF=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF（正方形的边相等）}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴CF=BD=1，∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠MCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在直角△APD中，AP=2，DP=1，
∴tan∠ADP=$\frac{AP}{DP}$=2，
∵EF∥AD（正方形对比平行），
∴∠FMC=∠ADP，
∴tan∠FMC=$\frac{FC}{MC}$=2，
∴MC=$\frac{1}{2}$．
②D点在线段CB延长线上，连接CF，过点A做AP垂直于BC，垂足为点P，如图2，

∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AB=2$\sqrt{2}$，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
AP=AB×sin∠ABC=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，BP=AB×cos∠ABC=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
又∵BD=1，DP=DB+BP，
∴DP=3，
∵∠BAC=∠DAF=90°，∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠DAC+∠CAF=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF（正方形的边相等）}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠AFC=∠ADB，∠ACF=∠ABD，CF=BD=1，
∵∠ABC=45°，∠ABD+∠ABC=180°，
∴∠AFC=∠ADB=135°，
∵∠ACB=45°，
∴∠MCF=∠PCF=90°，
在直角△APD中，AP=2，DP=3，
∴tan∠ADP=$\frac{AP}{DP}$=$\frac{2}{3}$，
∵EF∥AD（正方形对比平行），
∴∠FMC=∠ADP，
∴tan∠FMC=$\frac{FC}{MC}$=$\frac{2}{3}$，
∴MC=$\frac{3}{2}$．
综合①②得知CM的长为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是考虑到D点的两种情况，然后利用三角形全等得出相等的边角关系．