解:(1)将A(-2,0),B(1,-
),O(0,0)三点的坐标代入y=ax
2+bx+c(a≠0),
可得:
,
解得:
,
故所求抛物线解析式为y=-
x
2-
x;
(2)存在.理由如下:
如答图①所示,
∵y=-
x
2-
x=-
(x+1)
2+
,
∴抛物线的对称轴为x=-1.
∵点C在对称轴x=-1上,△BOC的周长=OB+BC+CO;
∵OB=2,要使△BOC的周长最小,必须BC+CO最小,
∵点O与点A关于直线x=-1对称,有CO=CA,
△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA,
∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小.
设直线AB的解析式为y=kx+t,则有:
,解得:
,
∴直线AB的解析式为y=-
x-
,
当x=-1时,y=-
,
∴所求点C的坐标为(-1,-
);
(3)设P(x,y)(-2<x<0,y<0),
则y=-
x
2-
x ①
如答图②所示,过点P作PQ⊥y轴于点Q,PG⊥x轴于点G,过点A作AF⊥PQ轴于点F,过点B作BE⊥PQ轴于点E,则PQ=-x,PG=-y,
由题意可得:S
△PAB=S
梯形AFEB-S
△AFP-S
△BEP=
(AF+BE)•FE-
AF•FP-
PE•BE
=
(y+
+y)(1+2)-
y•(2+x)-
(1-x)(
+y)
=
y+
x+
②
将①代入②得:S
△PAB=
(-
x
2-
x)+
x+
=-
x
2-
x+
=-
(x+
)
2+
∴当x=-
时,△PAB的面积最大,最大值为
,
此时y=-
×
+
×
=
,
∴点P的坐标为(-
,
).
分析:(1)直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式,可求解析式;
(2)因为点A,O关于对称轴对称,连接AB交对称轴于C点,C点即为所求,求直线AB的解析式,再根据C点的横坐标值,求纵坐标;
(3)设P(x,y)(-2<x<0,y<0),用割补法可表示△PAB的面积,根据面积表达式再求取最大值时,x的值.
点评:本题考查了坐标系中点的坐标求法,抛物线解析式的求法,根据对称性求线段和最小的问题,也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题;解答本题(3)也可以将直线AB向下平移至与抛物线相切的位置,联立此时的直线解析式与抛物线解析式,可求唯一交点P的坐标.