Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是 ．

Answer 1

【答案】 或
【解析】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，

∵DE是△ABC中位线，

∴DE∥BC，DE= BC=10，

∵DN′∥EF，

∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，

∴四边形DEFN′是矩形，

∴EF=DN′，DE=FN′=10，

∵AB=AC，∠A=90°，

∴∠B=∠C=45°，

∴BN′=DN′=EF=FC=5，

∴ = ，

∴ = ，

∴DO′= ．

当∠MON=90°时，

∵△DOE∽△EFM，

∴ = ，

∵EM= =13，

∴DO= ，

故答案为 或 ．

此题分两种情况讨论：作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，当∠MN′O′=90°，根据平行得线段成比例，建立方程，求解即可。；当∠MON=90°时，△DOE∽△EFM，得对应边成比例，建立方程求解即可。