Question

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点P从点B出发沿BA向终点A运动，同时动点Q从点O出发沿OB向点B运动，到达点B后立刻以原来的速度沿BO返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点A时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)求点P的坐标（用含t的代数式表示）；
(2)当点Q从点O向点B运动时(未到达点B)，是否存在实数t，使得△BPQ的面积大于17若存在，请求出t的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．是否存在t的值，使得直线l经过点O?若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）P（，﹣x+3）；
（2）不存在实数t，使得△BPQ的面积大于17；
（3），t=或时，O在l的垂直平分线上．

试题分析：（1）表示边长首要就是表示出来，根据函数性质及线段成比例等性质易表示出，PD，PC的长，即得坐标；
（2）讨论面积一般是计算底和高，然后表示出面积解析式，进而根据二次函数性质讨论最值或范围．而第一问求得OA=3，OB=4，易得S_△AOB仅为6，而S_△BQP≤S_△AOB，所以定不存在实数t，使得面积大于17；
（3）垂直平分线上的点到两边距离相等，利用这个性质，我们只要表示出OP，和OQ即可．但讨论时注意Q点的运动时个往返的过程，要有两种情形．
试题解析：（1）如图，过点P作PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．

∵y=﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B
∴A（4，0），B（0，3），
在Rt△BDP中，
∵OB=3，OA=4，
∴AB=5．
∵BP∥OA，
∴，
∵BP=t，
∴，
∴．
∵由点P过AB，
∴将x=代入y=﹣x+3，得y=﹣x+3，
∴P（，﹣x+3）；
（2）不存在实数t，使得△BPQ的面积大于17．
∵Q、P在OB、OA上运动，
∴S_△BQP≤S_△AOB．
∵S_△AOB=OA·OB==6，
∴S_△BQP≤6＜17，
∴不存在实数t，使得△BPQ的面积大于17；
（3）∵P（，﹣x+3），
∴OC=，PC=﹣x+3，
∴OP²=（）²+（﹣x+3）²，
∵O在l的垂直平分线上，
∴OP=OQ．
①当0＜t≤3时，OP=t，则t²=（）²+（﹣t+3）²，解得 t=，符合要求．
②当3＜t≤5时，
∵BQ=t﹣3，
∴OQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，
∴（6﹣t）²=（）²+（﹣t+3）²
解得 t=，符合要求．
综上所述，t=或时，O在l的垂直平分线上．