Question

14．在计算l+4+7+10+13+16+19+22+25+28时，我们发现，从第一个数开始，后面的每个数与它的前面一个数的差都是一个相等的常数，具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用下列公式来求和S，$S=\frac{{n（{{a_1}+{a_n}}）}}{2}$（其中n表示数的个数，a₁表示第一个数，a_n表示最后一个数），所以1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=$\frac{{10×（{1+28}）}}{2}$=145．
用上面的知识解答下面问题：
某公司对外招商承包一分公司，符合条件的两企业A、B分别拟定上缴利润方案如下：
A：每年结算一次上缴利润，第一年上缴1.5万元，以后每年比前一年增加l万元；
B：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴0.3万元，以后每半年比前半年增加0.3万元；
（1）如果承包期限2年，则A企业上缴利润的总金额为4万元，B企业上缴利润的总金额为3万元．
（2）如果承包期限为n年，试用n的代数式分别表示两企业上缴利润的总金额．
（3）承包期限n=20时，通过计算说明哪个企业上缴利润的总金额比较多？多多少万元？

Answer 1

分析 （1）根据“A：每年结算一次上缴利润，第一年上缴1.5万元，以后每年比前一年增加l万元；B：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴0.3万元，以后每半年比前半年增加0.3万元”即可算出承包期限为2年时A、B企业分别上缴利润的总金额；
（2）根据“A：每年结算一次上缴利润，第一年上缴1.5万元，以后每年比前一年增加l万元；B：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴0.3万元，以后每半年比前半年增加0.3万元”结合年限n以及$S=\frac{{n（{{a_1}+{a_n}}）}}{2}$（其中n表示数的个数，a₁表示第一个数，a_n表示最后一个数），即可求出当年限为n年时A、B企业分别上缴利润的总金额；
（3）将n=20代入（2）的结论中，算出结果比较做差后即可得出结论．

解答 解：（1）如果承包期限2年，则A企业上缴利润的总金额为：1.5+（1.5+1）=4（万元），
如果承包期限2年，则B企业上缴利润的总金额为：0.3+（0.3+0.3）+（0.3+0.3+0.3）+（0.3+0.3+0.3+0.3）=3（万元）．
故答案为：4；3．
（2）如果承包期限为n年，则A企业上缴利润的总金额为：1.5+2.5+3.5+…+（n+0.5）=（1+2+3+…+n）+0.5n=$\frac{n（1+n）}{2}$+$\frac{n}{2}$=$\frac{n（2+n）}{2}$（万元），
如果承包期限为n年，则B企业上缴利润的总金额为：0.3+2×0.3+3×0.3+4×0.3+…+（2n-1）×0.3+2n×0.3=0.3n•（1+2n）=0.6n²+0.3n．
（3）承包期限n=20时，A企业上缴利润的总金额为：$\frac{20×（2+20）}{2}$=220（万元），
承包期限n=20时，A企业上缴利润的总金额为：0.6×20²+0.3×20=246（万元），
246＞220，246-220=26（万元）．
答：承包期限n=20时，B企业上缴利润的总金额比较多，多26万元．

点评 本题考查了列代数式以及规律型中的数字的变化类，解题的关键是：（1）根据数量关系列出算式；（2）根据规律找出通式；（3）将n=20代入（2）结论中．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数字的变化规律写出通式是关键．