Question

如图1，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆的内壁逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周时，请将点M、N在大圆内运动所形成的痕迹绘制在图2中．

Answer 1

分析：根据已知中直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．我们分析滚动过程中，M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，及点M，N运动的规律，进而得出答案．

解答：解：如图1所示：
由题意可知，小圆O₁总与大圆O相内切，且小圆O₁总经过大圆的圆心O．
设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧

AM

与小圆点M转过的圆弧相等．
以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O₁的交点为M₁，记∠AOM=θ，则∠OM₁O₁=∠M₁OO₁=θ，
故∠M₁O₁A=∠M₁OO₁+∠OM₁O₁=2θ．
大圆圆弧

MA

的长为l₁=θ×1=θ，小圆圆弧

AM1

的长为l₂=2θ×

1

2

=θ，即l₁=l₂，
∴小圆的两段圆弧

AM1

与圆弧

AM′

长相等，故点M₁与点M′重合，
即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．
点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．
点M、N在大圆内运动所形成的痕迹绘制在图2中，如图所示．

点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中分析出M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M转过的弧长与切点转过的弧长相等是解答本题的关键．