Question

【题目】如图，已知直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．

（1）求抛物线解析式；

（2）点C（m，0）是x轴上异于A、O点的一点，过点C作x轴的垂线交AB于点D，交抛物线于点E．

①当点E在直线AB上方的抛物线上时，连接AE、BE，求S△ABE的最大值；

②当DE＝AD时，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）①S△ABE最大值为8；②m＝.

【解析】

（1）直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，则点A、B的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，4），可得c值，把A点坐标代入y＝﹣x2+bx+c求出b的值，即可得答案；（2）①S△ABE＝×ED×OA＝2ED＝﹣2m2﹣8m，即可求解；②根据A、B坐标可得∠BAO=45°，即可得出AD＝AC＝|（m+4）|，根据AD=DE列方程求出m的值即可．

（1）∵直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，

∴当x=0时，y=4，当y=0时，x=-4，

∴点A（-4，0）、点B（0，4），

∴c＝4，

将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：-(-4)2-4x+4=0，

解得：b＝﹣3，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）如图，连接EA、EB，

①∵C（m，0），CE⊥x轴，D、E分别在AB和抛物线上，

∴点E、D的坐标分别为：（m，﹣m2﹣3m+4）、（m，m+4），

∵点E在直线AB上方的抛物线上，

∴DE＝（﹣m2﹣3m+4）﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，

∴S△ABE＝×ED×OA＝2ED＝﹣2m2﹣8m=-2(m+2)2+8，

∵﹣2＜0，

∴当m=-2时，S△ABE有最大值8.

②∵OA=OB=4，∠AOB=90°，

∴∠BAO=45°，

∵∠ACE=90°，

∴AD＝AC＝|m+4|，

∵AD=DE，

∴

解得：m=或m=-4，

∵m=-4时，点C与点A重合，不符合题意，

∴m=.