Question

2．如图，在以O为坐标原点的平面直角坐标系中，二次函数y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，-1）．连结AC，tan∠OCA=2，直线l 过点G（0，-2）且平行于x轴．
（1）请直接写出b，c的值，b=0，c=-1
（2）若D为抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c 上的一个动点，点D到直线l 的距离记为d．
①试判断d=DO是否恒成立，并说明理由．
②若E为抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c 上不同于点D的另一个动点，试判断以线段DE为直径的圆与直线l 的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点C的坐标代入二次函数解析式中可求出c值，在Rt△AOC中通过解直角三角形可求出点A的坐标，将其代入二次函数解析式中即可求出b值；
（2）①由二次函数图象上点的坐标特征可设点D（m，$\frac{1}{4}$m²-1），根据两点间的距离公式以及点到直线的距离可分别表示出OD和d的长度，比较后即可得出结论；
②过点D作DD′⊥直线l于点D′，过点E作EE′⊥直线l于点E′，连接OD、OE，取线段DE的中点M，过M作MM′⊥直线l于点M′，由①可得DD′=OD、EE′=OE，利用梯形的中位线可得出MM′=$\frac{1}{2}$（DD′+EE′），再利用三角形的三边关系即可得出DD′+EE′＞DE，从而得出MM′＞$\frac{1}{2}$DE，即以线段DE为直径的圆与直线l相离．

解答 解：（1）当x=0时，y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c=c=-1，
∴c=-1；
∵点C（0，-1），tan∠OCA=2，
∴OA=2OC=2，
∴A（-2，0）．
将A（-2，0）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx-1中，
0=1-2b-1，解得：b=0．
故答案为：0；-1．

（2）①d=DO恒成立，理由如下：
设点D（m，$\frac{1}{4}$m²-1），
∴d=$\frac{1}{4}$m²-1-（-2）=$\frac{1}{4}$m²+1，DO=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{m}^{4}+\frac{1}{2}{m}^{2}+1}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴d=DO．
②以线段DE为直径的圆与直线l相离，理由如下：
过点D作DD′⊥直线l于点D′，过点E作EE′⊥直线l于点E′，连接OD、OE，取线段DE的中点M，过M作MM′⊥直线l于点M′，如图所示．
由①可知：DD′=OD，EE′=OE．
∵DD′⊥直线l，EE′⊥直线l，MM′⊥直线l，点M为线段DE的中点，
∴MM′为梯形DD′E′E的中位线，
∴MM′=$\frac{1}{2}$（DD′+EE′）．
在△ODE中，OD+OE＞DE，
∴DD′+EE′＞DE，
∴MM′＞$\frac{1}{2}$DE，
∴以线段DE为直径的圆与直线l相离．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、点到直线的距离、三角形三边关系以及梯形的中位线，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出b、c值；（2）①利用两点间的距离公式以及点到直线的距离可分别表示出OD和d的长度；②根据三角形三边关系结合①找出DD′+EE′＞DE．