Question

如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP＝BQ.

(1)求证：△BDQ≌△ADP；
(2)已知AD＝3，AP＝2，求cos∠BPQ的值 (结果保留根号)

Answer 1

（1）证明可得 ∴△BDQ≌△ADP（SAS）（2）

试题分析：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∵∠A＝60°，

∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD，∠ABD＝60° 
∵AD∥BC，∴∠DBQ＝60° 
在△BDQ与△ADP中，
∵ ∴△BDQ≌△ADP（SAS） 
（2)解：∵△BDQ≌△ADP，∴∠BDQ＝∠ADP，DQ＝DP，∴∠PDQ＝∠ADB＝60°.
∴△DPQ是等边三角形．∴∠DPQ＝60°
∵∠DPQ＋∠BPQ＝∠A＋∠ADP，∴∠BPQ＝∠ADP 
过点P作PM⊥AD于M，在Rt△APM中，PM=AP.sin∠A=2sin60⁰=,
AM=AP.cos60⁰=1,∴DM="3-1=2," 在Rt△PDM中,PD=
cos∠ADP==, ∴cos∠BPQ =cos∠ADP 
点评：本题考查全等三角形，三角函数，解答本题要求考生掌握三角形全等的判定方法，会证明两个三角形全等，熟悉三角函数的定义