Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，连接OC，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长CD，BA交于点E，若$\frac{AE}{DE}$=$\frac{3}{4}$，求tan∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，易证∠OAD=∠ODA，由于OC∥AD，所以可证∠DOC=∠BOC，从而可证△OBC≌△ODC（SAS），所以∠ODC=90°．
（2）AD∥OC，所以$\frac{OA}{DC}=\frac{EA}{ED}$，可设OA=3a，DC=4a，所以BC=DC=4a，AB=6a，利用tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$即可求出答案．

解答 证明：（1）连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵OC∥AD，
∴∠OAD=∠BOC，∠ADO=∠DOC，
∴∠DOC=∠BOC，
在△OBC与△ODC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠DOC=∠BOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）∵AD∥OC，
∴$\frac{OA}{DC}=\frac{EA}{ED}=\frac{3}{4}$，
设OA=3a，DC=4a，
∵△OBC≌△ODC，
∴BC=DC=4a，
又∵AB=2OA=6a，
∴tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}=\frac{6a}{4a}$=$\frac{3}{2}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，切线的判定，锐角三角函数等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．