Question

18．如图，已知AD、CF是△ABC的两条高，EF⊥AC与E，交CB延长线于G，交AD于H，求证：EF²=EH•EG．

Answer 1

分析 先证△AFE∽△FCE得到比例式，推EF²=AE•EC，再证△AEH∽△GEC得到比例式，推出AE•EC=EH•EG，即可得出结论．

解答 证明：∵EF⊥AC，CF⊥AB，
∴∠FEA=∠FEC=90°，∠AFC=90°，
∴∠AFE+∠FAE=90°，∠AFE+∠EFC=90°，
∴∠FAE=∠EFC，
∵∠FEA=∠FEC，
∴△AFE∽△FCE，
∴$\frac{EF}{EC}$=$\frac{AE}{EF}$，
∴EF²=AE•EC，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠G+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠G，
∠AEH=∠GEC=90°，
∴△AEH∽△GEC，
∴$\frac{EH}{EC}$=$\frac{AE}{EG}$，
∴AE•EC=EH•EG，
∴EF²=EH•EG．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相似三角形的性质和判定求出EF²=AE•EC和AE•EC=EH•EG是解决问题的关键．