Question

4．如图，平行四边形ABCD中，∠B=30°，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D，若AB=2$\sqrt{3}$，∠AB′D=75°，则：①∠CB′D=45°；②BC=3$+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据对折的性质求得∠AB′C=30°，从而求得∠CB′D=45°，由于B′D∥AC，得出∠ACB′=∠CB′D=45°，进而即可求得∠ACB=45°；作AG⊥BC于G，根据解直角三角形即可求得BC．

解答 解：如图∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠ADC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴AB′=AB，B′C=BC，∠AB′C=∠B，
∴AB′=CD，B′C=AD，∠AB′C=∠ADC，
在△AB′C和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB′=CD}\\{∠AB′C=∠ADC}\\{B′C=AD}\end{array}\right.$，
∴△AB′C≌△CAD（SAS），
∴∠ACB′=∠CAD，
设AD、B′C相交于E，
∴AE=CE，
∴△ACE是等腰三角形，
即△AB′C与?ABCD重叠部分的图形是等腰三角形；
∵B′C=AD，AE=CE，
∴B′E=DE，
∴∠CB′D=∠ADB′，
∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD，
∴∠ADB′=∠DAC，
∴B′D∥AC；
∵在?ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠AB′C=30°，
∵∠AB′D=75°，
∴∠CB′D=45°，
∵B′D∥AC，
∴∠ACB′=∠CB′D=45°，
∵∠ACB=∠ACB′，
∴∠ACB=45°；
作AG⊥BC于G，
∴AG=CG，
∵∠B=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴CG=$\sqrt{3}$，BG=3，
∴BC=BG+CG=3$+\sqrt{3}$，
故答案为：45°，3$+\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，平行四边形的性质，解直角三角形，证得AC∥B′D是解题的关键．