Question

如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）直接写出∠ABC的度数；
（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线．
①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程；
②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC===72°；

（2）①如图（2），△ADB、△BCD是等腰三角形．
说明△ADB是等腰三角形，理由：
由（1）得：∠ABC=72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠ABC=36°，
又∵∠A=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD，即△ADB是等腰三角形．
[若说明△BCD是等腰三角形，理由：
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=（180°-36°）=72°
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形．
②存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形．

等腰△CDP，当以∠CDP为顶角，CD为一腰时，∠CPD=72°；
当以∠DCP为顶角，CD为一腰时，存在两点P：
一点在线段BC延长线上，此时∠CPD=36°；
一点在线段BC上，此时∠CPD=54°．
分析：（1）由已知条件结合等腰三角形的性质及三角形内角和进行求解；
（2）①等腰三角形的判定，BD是△ABC中∠ABC的平分线．可求出各个角的大小再进行判断；
②使△CDP为等腰三角形，则可能是CD=CP，DP=CD，因为∠C=∠BDC，所以不可能PC=PD．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．