Question

13．如图，四边形OABC的边OA，OC分别在y轴、x轴的正半轴，已知：A（0，4），B（4，3），C（4，0）．
（1）直接写出四边形OABC的面积为14；
（2）点D在x轴上，且∠BAD=90°，则点D的坐标是（-1，0）；
（3）点P在线段OC上，且∠APO=∠BPC，请画出点P，并直接写出点P的坐标为（$\frac{16}{7}$，0）．

Answer 1

分析 （1）根据A，B，C坐标，确定出四边形ABCO为梯形，求出面积即可；
（2）利用待定系数法确定出直线AB解析式，由AD与AB垂直求出直线AD斜率，进而确定出直线AD解析式，令y=0求出x的值，确定出D坐标即可；
（3）由已知角相等，加上一对直角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AOP与三角形BCP相似，由相似得比例，设OP=m，则有PC=4-m，代入比例式求出m的值，即可确定出P坐标．

解答 解：（1）根据题意得：四边形ABCO为直角梯形，
∵A（0，4），B（4，3），C（4，0），
∴OA=4，OC=4，BC=3，
则S_梯形ABCO=$\frac{1}{2}$（BC+OA）•OC=$\frac{1}{2}$×（3+4）×4=14；
故答案为：14；
（2）如图1所示：

设直线AB解析式为y=kx+b，
把A（0，4）与B（4，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{4}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{1}{4}$x+4，
∵AD⊥AB，∴直线AD斜率为4，
∴直线AD解析式为y=4x+4，
令y=0，得到x=-1，即D（-1，0）；
故答案为：（-1，0）；
（3）如图2所示：

∵∠APO=∠BPC，∠AOP=∠BCP=90°，
∴△AOP∽△BCP，
∴$\frac{OA}{BC}$=$\frac{OP}{CP}$，
设OP=m，则PC=OC-OP=4-m，
∴$\frac{4}{3}$=$\frac{m}{4-m}$，即3m=16-4m，
解得：m=$\frac{16}{7}$，
则P（$\frac{16}{7}$，0）．
故答案为：（$\frac{16}{7}$，0）

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，两直线垂直时斜率的乘积为-1，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质及运算法则是解本题的关键．