Question

6．如图，已知一次函数y=$\frac{1}{2}$x+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象交于点A（-1，2）和点B
（1）求k的值及一次函数解析式；
（2）点A与点A′关于y轴对称，则点A′的坐标是（1，2）；
（3）在y轴上确定一点C，使△ABC的周长最小，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，2）代入两个解析式即可得到结论；
（2）根据关于y轴对称的点的特点即可得到结论；
（3）作点A关于y轴对称A′，连接AA′交y轴于C，则△ABC的周长最小，解方程组得到B（-4，$\frac{1}{2}$），得到A′B的解析式为y=$\frac{3}{10}$x+$\frac{17}{10}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵一次函数y=$\frac{1}{2}$x+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象交于点A（-1，2），
把A（-1，2）代入两个解析式得：2=$\frac{1}{2}$×（-1）+b，2=-k，
解得：b=$\frac{5}{2}$，k=-2，
∴一次函数解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，反比例函数解析式为y=-$\frac{2}{x}$；

（2）∵点A（-1，2）与点A′关于y轴对称，
∴A′（1，2），
故答案为：（1，2）；

（3）作点A关于y轴对称A′，连接AA′交y轴于C，则△ABC的周长最小，
由（2）知A′（1，2），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{y}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴B（-4，$\frac{1}{2}$），
设A′B的解析式为y=ax+c，
把A′（1，2），B（-4，$\frac{1}{2}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2}\\{-4a+c=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{10}}\\{c=\frac{17}{10}}\end{array}\right.$，
∴A′B的解析式为y=$\frac{3}{10}$x+$\frac{17}{10}$，令x=0，
∴y=$\frac{17}{10}$，
∴C（0，$\frac{17}{10}$）

点评 本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，轴对称-最小距离问题，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．