Question

8．已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、MF
（1）如图1，请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是MD=MF，MD⊥MF；
（2）如图2，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，则（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明；
（3）若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转30°时，CF边恰好平分线段AE，请直接写出$\frac{CG}{CB}$的值．

Answer 1

分析 （1）延长DM交EF于点P，易证AM=EM，即可证明△ADM≌△EPM，可得DM=PM，根据△DFP是直角三角形即可解题；
（2）延长DM交CE于点N，连接FN、DF，易证∠DAM=∠NEM，即可证明△ADM≌△ENM，可得EN=AD，DM=MN，可证CD=EN，即可证明△CDF≌△ENF，可得DF=NF，即可解题；
（3）根据（1）可得MD=MF，MD⊥MF，若CF边恰好平分线段AE，则CF过点M，最后根据Rt△CDM中，∠DCF=30°，即可求得$\frac{CG}{CB}$的值．

解答 解：（1）线段MD、MF的数量及位置关系是MD=MF，MD⊥MF，
理由：如图1，延长DM交EF于点P，

∵四边形ABCD和四边形FCGE是正方形，
∴AD∥EF，∠MAD=∠MEP．∠CFE=90°．
∴△DFP是直角三角形．
∵M为AE的中点，
∴AM=EM．
在△ADM和△EPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠MEP}\\{AM=EM}\\{∠AMD=∠EMP}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△EPM（ASA），
∴DM=PM，AD=PE，
∴M是DP的中点．
∴MF=$\frac{1}{2}$DP=MD，
∵AD=CD，
∴CD=PE，
∵FC=FE，
∴FD=FP，
∴△DFP是等腰直角三角形，
∴FM⊥DP，即FM⊥DM．
故答案为：MD=MF，MD⊥MF；

（2）MD=MF，MD⊥MF仍成立．
证明：如图2，延长DM交CE于点N，连接FN、DF，

∵CE是正方形CFEG对角线，
∴∠FCN=∠CEF=45°，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠NEM，
在△ADM和△ENM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠NEM}\\{AM=EM}\\{∠AMD=∠EMN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ENM（ASA），
∴EN=AD，DM=MN，
∵AD=CD，
∴CD=EN，
在△CDF和△ENF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=EN}\\{∠DCF=∠CEF=45°}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△ENF，（SAS）
∴DF=NF，
∴FM=DM，FM⊥DM．

（3）如图所示，若CF边恰好平分线段AE，则CF过点M，

由（1）可得FM=DM，FM⊥DM，
设FM=DM=1，
∵∠DCF=30°，
∴Rt△DCM中，CM=$\sqrt{3}$，CD=2=CB，
∴CF=$\sqrt{3}$+1=CG，
∴$\frac{CG}{CB}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，含30°角的直角三角形的性质以及正方形的性质的综合应用，本题中求证△ADM≌△ENM和△CDF≌△ENF是解题的关键．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．