Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与y轴的交于点A（0，3），与x轴的交于点B和C，点B的横坐标为2．点A关于抛物线对称轴对称的点为点D，在x轴上有一动点E（t，0），过点E作平行于y轴的直线与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在线段AC的下方时，求△APC面积的最大值；

（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x+3；（2）当t=3时，△APC的面积取最大值，最大值为；（3）当t＞2时，存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，此时t的值为或或14．

【解析】

（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，设直线l与直线AC的交点为F，则点F的坐标为（t，﹣t+3）．结合点P的坐标即可得出PF的值，由S△APC=S△APF+S△CPF可得出S△APC=﹣（t﹣3）2+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）由∠AOB=∠AQP=90°，可分△AOB∽△AQP和△AOB∽△PQA两种情况考虑，利用相似三角形的性质可得出关于t的方程，解之即可得出结论．

（1）将A（0，3）、B（2，0）代入y=x2+bx+c，得：

，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+3．

（2）当y=0时，有x2﹣2x+3=0，解得：x1=2，x2=6，∴点C的坐标为（6，0）．

设直线AC的解析式为y=mx+n（m≠0），将A（0，3）、C（6，0）代入y=mx+n，得：

，解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣x+3．

设直线l与直线AC的交点为F，如图1所示，则点F的坐标为（t，﹣t+3）．

∵点P的坐标为（t，t2﹣2t+3），∴PF=﹣t+3﹣（t2﹣2t+3）=﹣t2+t，∴S△APC=S△APF+S△CPF=OEPF+CEPF=OCPF=×6×（﹣t2+t）=﹣（t﹣3）2+．

∵a=﹣＜0，当t=3时，△APC的面积取最大值，最大值为．

（3）假设存在．

∵∠AOB=∠AQP=90°，∴分△AOB∽△AQP和△AOB∽△PQA两种情况考虑．

∵A（0，3），B（2，0），Q（t，3），P（t，t2﹣2t+3），∴AO=3，BO=2，AQ=t，PQ=|t2﹣2t|．

①当△AOB∽△AQP时，有=，即=，解得：t1=0（舍去），t2=，t3=，经检验，t2=、t3=是所列分式方程的解；

②当△AOB∽△PQA时，有=，即=，解得：t4=0（舍去），t5=2（舍去），t6=14，经检验，t6=14是所列分式方程的解．

综上所述：当t＞2时，存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，此时t的值为或或14．