分析 (1)首先设AE=xAD,根据勾股定理,分别求出DE2、CE2、CD2的值各是多少;在Rt△CDE中,根据CE2=CD2+DE2,求出x的值各是多少;然后判断出DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$AD,即可求出tan∠DCE的值是多少.
(2)首先设AE=xAD,根据勾股定理,分别求出DE2、CE2、CD2的值各是多少;在Rt△CDE中,根据CE2=CD2+DE2,求出x、n的关系;然后根据$\frac{{{S_{△DCE}}}}{{{S_{梯形ABCD}}}}=\frac{5}{16}$,求出n的值是多少即可.
(3)首先根据△ADE与△BCE,BC=2AD,判断出BE=2AE,CE=2DE;然后根据勾股定理,分别求出DE2、CD2的值各是多少,再根据CE=2DE,CE2=CD2+DE2,判断出CD2=3DE2,即可求出n的值是多少.
解答 解:(1)如图1,作DF⊥BC于点F,
∵BC=2AD,BC=AB,
∴AB=2AD,
设AE=xAD,
则BE=(2-x)AD,
在Rt△ADE中,
DE2=AD2+AE2=(1+x2)AD2,
在Rt△BCE中,
CE2=BC2+BE2=4AD2+(2-x)2AD2=(x2-4x+8)AD2,
在Rt△CDF中,
CD2=CF2+DF2=(2AD-AD)2+(2AD)2=5AD2,
在Rt△CDE中,
∵CE2=CD2+DE2,
∴(x2-4x+8)AD2=5AD2+(1+x2)AD2=(x2+6)AD2,
解得x=0.5,
∴DE2=(1+0.25)AD2=1.25AD2,
∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$AD,
∴tan∠DCE=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}AD}{\sqrt{5}AD}=\frac{1}{2}$.
(2)如图2,作DF⊥BC于点F,
∵BC=3AD,BC=nAB,
∴AB=$\frac{3}{n}$AD,
设AE=xAD,
则BE=($\frac{3}{n}$-x)AD,
在Rt△ADE中,
DE2=AD2+AE2=(1+x2)AD2,
在Rt△BCE中,
CE2=BC2+BE2=9AD2+($\frac{3}{n}$-x)2AD2=(x2-$\frac{6}{n}$x+$\frac{9}{{n}^{2}}$+9)AD2,
在Rt△CDF中,
CD2=CF2+DF2=(3AD-AD)2+$\frac{9}{{n}^{2}}$AD2=($\frac{9}{{n}^{2}}$+4)AD2,
在Rt△CDE中,
∵CE2=CD2+DE2,
∴(x2-$\frac{6}{n}$x+$\frac{9}{{n}^{2}}$+9)AD2=($\frac{9}{{n}^{2}}$+4)AD2+(1+x2)AD2=(x2+$\frac{9}{{n}^{2}}$+5)AD2,
解得x=$\frac{2}{3}$n.
∵${{(S}_{△DCE})}^{2}$=${(\frac{1}{2}CD•DE)}^{2}$=$\frac{1}{4}$($\frac{9}{{n}^{2}}$+4)AD2•(1+x2)AD2=$\frac{1}{4}$($\frac{9}{{n}^{2}}$+4)(1+$\frac{4}{9}$n2)AD4,
∴S△DCE=$\frac{{4n}^{2}+9}{6n}$AD2,
又∵S梯形ABCD=$\frac{1}{2}$(AD+BC)AB=$\frac{1}{2}$(AD+3AD)•$\frac{3}{n}$AD=$\frac{6}{n}$AD2,
∴$\frac{{S}_{△DCE}}{{S}_{梯形ABCD}}$=$\frac{{\frac{{4n}^{2}+9}{6n}AD}^{2}}{{\frac{6}{n}AD}^{2}}$=$\frac{{4n}^{2}+9}{36}$=$\frac{5}{16}$,
解得n=$\frac{3}{4}$或n=-$\frac{3}{4}$(舍去).
(3)如图3,作DF⊥BC于点F,
∵BC=2AD,BC=nAB,
∴$\frac{BC}{AD}=2$,AB=$\frac{2}{n}$AD,
∵△ADE与△BCE,
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{CE}{DE}=\frac{BC}{AD}$=2,
∴BE=2AE,CE=2DE,
∴AE=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{2}{3n}$AD,BE=$\frac{4}{3n}$AD,
在Rt△ADE中,
DE2=AD2+AE2=(1+$\frac{4}{{9n}^{2}}$)AD2,
在Rt△CDF中,
CD2=CF2+DF2=(2AD-AD)2+$\frac{4}{{n}^{2}}$AD2=($\frac{4}{{n}^{2}}$+1)AD2,
∵CE=2DE,
∴CE2=4DE2,
又∵CE2=CD2+DE2,
∴CD2=3DE2,
∴($\frac{4}{{n}^{2}}$+1)AD2=(1+$\frac{4}{{9n}^{2}}$)AD2×3,
解得n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或n=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$(舍去),
∴当m=2,n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时,△ADE与△BCE相似.
故答案为:$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
点评 (1)此题主要考查了相似形综合题,考查了分析推理能力,考查了数形结合思想的应用,要熟练掌握.
(2)此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似;②两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;③两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.
(3)此题还考查了勾股定理的应用,要熟练掌握.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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