Question

9．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线y=ax²+ax-2上．
（1）点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（-3，1）；
（2）抛物线的关系式为y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C的位置．请判断点B′C′是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

Answer 1

分析 1）先利用勾股定理计算出OA得到A（0，2），作BH⊥x轴于H，如图1，通过证明△ACO≌△CBH得到OC=BH=1，AO=CH=2，则可得到B点坐标；
（2）直接把B点坐标代入y=ax²+ax-2中求出a即可得到抛物线解析式；
（3）先把（2）值的一般式配成顶点式得到D（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{17}{8}$），再利用待定系数法求出BD的关系式为y=-$\frac{5}{4}$x-$\frac{11}{4}$；直线BD和x轴交点为E，如图1，则可得到E（-$\frac{11}{5}$，0），然后根据三角形面积公式，利用S_△BCD=S_△BCE+S_△DCE进行计算即可；
（4）如图2，过点B′作B′N⊥y轴于点N，过点B作BF⊥y轴于点F，过点C′作C′M⊥y轴于点M，先利用旋转的性质得到∠CAC′=90°，∠BAB′=90°，AC=AC′，AB=AB′，再证明Rt△AB′N≌Rt△BAF得到B′N=AF=2，AN=BF=3，则B′（1，-1），利用同样方法求出C′（2，1），然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断点B′、C′是否在（2）中的抛物线上．

解答 解：（1）∵C（1，0），
∴OC=1，
∵AC=$\sqrt{5}$，
∴OA=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=2，
∴A（0，2），
作BH⊥x轴于H，如图1，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴CA=CB，∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠BCH=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BCH，
在△ACO和△CBH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠CHB}\\{∠CAO=∠BCH}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△CBH，
∴OC=BH=1，AO=CH=2，
∴B（-3，1）；
故答案为（0，2），（-3，1）；
（2）把B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得9a-3a-2=1，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2；
故答案为y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2；
（3）∵y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{17}{8}$，
∴D（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{17}{8}$），
设直线BD的关系式为y=kx+b，
将B（-3，1）、D（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{17}{2}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{-\frac{1}{2}k+b=-\frac{17}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{4}}\\{b=-\frac{11}{4}}\end{array}\right.$，
∴BD的关系式为y=-$\frac{5}{4}$x-$\frac{11}{4}$；
直线BD和x轴交点为E，如图1，
当y=0时，-$\frac{5}{4}$x-$\frac{11}{4}$=0，解得x=-$\frac{11}{5}$，则E（-$\frac{11}{5}$，0），
∴S_△BCD=S_△BCE+S_△DCE=$\frac{1}{2}$•（-1+$\frac{11}{5}$）•1+$\frac{1}{2}$•（-1+$\frac{11}{5}$）•$\frac{17}{5}$=$\frac{15}{8}$；
（4）点B′、C′在（2）中的抛物线上．理由如下：
如图2，过点B′作B′N⊥y轴于点N，过点B作BF⊥y轴于点F，过点C′作C′M⊥y轴于点M，
∵三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C的位置，
∴∠CAC′=90°，∠BAB′=90°，AC=AC′，AB=AB′，
∵∠BAF+∠B′AN=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠B′AN，
在Rt△AB′N与Rt△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANB′=∠BFA}\\{∠B′AN=∠ABF}\\{AB′=BA}\end{array}\right.$，
∴Rt△AB′N≌Rt△BAF，
∴B′N=AF=2，AN=BF=3，
∴B′（1，-1），
同理可得△AC′M≌△CAO，
∴C′M=OA=2，AM=OC=1，
∴C′（2，1），
当x=1时，y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-2=-1，所以点B′（1，-1）在抛物线上，
当x=2时，y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2=2+1-2=1，所以点C′（2，1）在抛物线上．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；能构建三角形全等证明线段相等．