Question

已知二次函数y=x²-2mx-2m²（m≠0）的图象与x轴交于A、B两点，它的顶点在以AB为直径的圆上．
（1）证明：A、B是x轴上两个不同的交点；
（2）求二次函数的解析式；
（3）设以AB为直径的圆与y轴交于C，D，求弦CD的长．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数综合题

分析：（1）求出根的判别式，然后根据根的判别式大于0即可判断与x轴有两个交点；
（2）利用根与系数的关系求出AB的长度，也就是圆的直径，根据顶点公式求出顶点的坐标得到圆的半径，然后根据直径是半径的2倍列式即可求出m的值，再把m的值代入二次函数解析式便不难求出函数解析式；
（3）根据（2）中的结论，求出圆的半径，弦心距，半弦，然后利用勾股定理列式求出半弦长，弦CD的长等于半弦的2倍．

解答：（1）证明：∵y=x²-2mx-2m²（m≠0），
∴a=1，b=-2m，c=-2m²，
△=b²-4ac=（-2m）²-4×1×（-2m²）=4m²+8m²=12m²，
∵m≠0，
∴△=12m²＞0，
∴A，B是x轴上两个不同的交点；

（2）设AB点的坐标分别为A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁+x₂=-

b

a

=2m，x₁•x₂=

c

a

=-2m²，
∴AB=|x₁-x₂|=

(x 1+x  2) 2 -4x 1x 2

=2

3

|m|，
∵抛物线的顶点坐标为：（m，-3m²），且在以AB为直径的圆上，
∴AB=2×3m²，
∴2

3

|m|=6m²，
∴m=±

3

3

，
∴y=x²±

2 3

3

x-

2

3

；
（3）根据（2）的结论，圆的半径为

1

2

×6m²=

1

2

×2=1，
弦CD的弦心距为|m|=

3

3

，
∴

1

2

CD=

1 2- ( 3 3

) 2=

6

3

，
∴CD=

2 6

3

．

点评：本题综合考查了二次函数与x轴的交点的个数的判断，根与系数关系的应用，以及圆的半径，弦心距，半弦长构成直角三角形的应用，勾股定理，综合性较强，但难度不是很大仔细分析求解便不难解决．