[题目]如图.湿地景区岸边有三个观景台...已知米.米.点位于点的南偏西方向.点位于点的南偏东方向.(1)求的面积,(2)景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭.并修建观景栈道.试求.间的距离.(结果精确到0.1米)(参考数据:......) 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，湿地景区岸边有三个观景台、、.已知米，米，点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向.

（1）求的面积；

（2）景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求、间的距离.（结果精确到0.1米）

（参考数据：，，，，，，）

【答案】（1）560000平方米；（2）565.6米．

【解析】

试题（1）作CE⊥BA于E．在Rt△ACE中，求出CE即可解决问题；

（2）接AD，作DF⊥AB于F，则DF∥CE．首先求出DF、AF，再在Rt△ADF中求出AD即可．

试题解析：解：（1）作CE⊥BA于E．在Rt△AEC中，∠CAE=180°﹣60.7°﹣66.1°=53.2°，∴CE=ACsin53.2°≈1000×0.8=800米，∴S△ABC=ABCE=×1400×800=560000平方米．

（2）连接AD，作DF⊥AB于F，则DF∥CE．∵BD=CD，DF∥CE，∴BF=EF，∴DF=CE=400米．∵AE=ACcos53.2°≈600米，∴BE=AB+AE=2000米，∴AF=EB﹣AE=400米．在Rt△ADF中，AD==400=565.6米．

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如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．

∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．

∴△MDI∽△ANI．

∴，

∴IAID＝IMIN，①

如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．

∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE＝90°．

∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI＝90°，

∴∠DBE＝∠IFA．

∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），

∴△AIF∽△EDB，

∴．

∴IABD＝DEIF②

任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝　　（用含R，d的代数式表示）；

（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6cm, BC=8cm,点O为AB中点，点I是△ABC的内心，则OI=　　cm．

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