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精英家教网如图,任意四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别为BC、AD的中点.说明∠1与∠2的大小关系.
分析:连接BD,取BD的中点G,连接MG,NG,根据三角形的中位线的性质,易得∠1=∠GNM,∠2=∠GME,再由AB=CD可得MG=NG,进而求得∠1=∠2.
解答:精英家教网解:连接BD,取BD的中点G,连接MG,NG
∵G、N、M分别是BD、BC、AD的中点,
∴GN是△ADB的AB对的中位线,GM是△BCD的CD对的中位线
∴NG∥AB,NG=
1
2
AB,GM∥CD,GM=
1
2
CD
∴∠1=∠GNM,∠2=∠GME
又∵AB=CD
∴MG=NG
∴∠GNM=∠GME
∴∠1=∠2.
点评:本题利用了三角形的中位线求解,有中点常构造中位线,连BD是构造中位线的基本图形,连接AC也可以.
练习册系列答案
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如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:
(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;
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(2)将原题中正方形改为矩形(如图6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb (a≠b,k>0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由.

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(2012•青海)如图(*),四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段,完成所提出的问题.
(1)探究1:小强看到图(*)后,很快发现AE=EF,这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等,但△ABE和△ECF显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形),考虑到点E是边BC的中点,因此可以选取AB的中点M,连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了,随即小强写出了如下的证明过程:
证明:如图1,取AB的中点M,连接EM.
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵点E,M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC(ASA)
∴AE=EF
(2)探究2:小强继续探索,如图2,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”,其余条件不变,发现AE=EF仍然成立,请你证明这一结论.
(3)探究3:小强进一步还想试试,如图3,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”,其余条件仍不变,那么结论AE=EF是否成立呢?若成立请你完成证明过程给小强看,若不成立请你说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图,任意四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别为BC、AD的中点.说明∠1与∠2的大小关系.

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如图,任意四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别为BC、AD的中点.说明∠1与∠2的大小关系.

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