Question

【题目】如图，图1、图2、图3、…图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD,正五边形ABCDE,、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动.

（1）求图1中∠APN的度数；

（2）求图2中，∠APN的度数，求图3中∠BPN的度数；

（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）.

Answer 1

【答案】（1）∠APN=60°；（2）90°；108°；（3）.

【解析】

（1）由△ABC为等边三角形可知∠ABC=60°，再由等速运动可得到∠ABP=∠NBC，再利用外角的性质可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代换可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度数；

（2）和（1）同理可得到∠APN的度数和∠ABC的度数相等，图③中∠APN的度数和∠ABC的度数相等；

（3）结合（1）（2）可得到∠APN的度数等于多边形的内角的度数，可得到结论．

（1）图1:∵点M、N分别从点B. C开始以相同的速度在O上逆时针运动，

∴劣弧BM=劣弧CN

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠APN=∠BPM，

∴∠APN=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；

（2）同理：图2中，∠APN=∠ABC=90°；图3中，∠APN=∠ABC=108°；

（3）由（1）、（2）可知，

60°=，90°=，108°=，

∴∠APN=它所在的正多边形的内角度数，

∴在图n中，∠APN=.