Question

如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．
（1）证明：△ABE≌△CBD；
（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；
（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；
（4）求线段BD的长．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是等边三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°，由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，利用“SAS”判定△ABE≌△CBD；
（2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形；
（3）由（2）的结论得

AN

CN

=

AB

CD

=2，即CN=

1

3

AC，同理，得AM=

1

3

AC，可证AM=MN=NC；
（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30°，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°．　（1分）
∵四边形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°，∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD，
即∠BAE=∠BCD．（2分）
在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD．（3分）

（2）解：存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN．
证明：∵△ABE≌△CBD，
∴∠ABE=∠CBD，
∴∠BAC+∠ABE=∠BCA+∠CBD，
∴∠ANB=∠DNC，
又∵∠BAN=60°=∠DCN，
∴△ANB∽△CND．（5分）
其相似比为：

AB

DC

=

2

1

=2；（6分）

（3）解：由（2）得

AN

CN

=

AB

CD

=2，
∴CN=

1

2

AN=

1

3

AC，（8分）
同理AM=

1

3

AC，
∴AM=MN=NC．（9分）

（4）解：作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=60°．（1O分）
在Rt△CDF中，∴∠CDF=30°，
∴CF=

1

2

CD=

1

2

，
∴DF=

CD2-CF2

=

12-( 1 2 )2

=

3

2

；　（11分）
在Rt△BDF中，∵BF=BC+CF=2+

1

2

=

5

2

，DF=

3

2

，
∴BD=

BF2+DF2

=

( 5 2 )2+( 3 2 )2

=

7

．（12分）

点评：本题考查了相似三角形、全等三角形的判定与性质，特殊三角形，等腰梯形的性质，勾股定理的运用．关键是根据等边三角形，等腰梯形的特殊性质得出平行线，构造直角三角形，利用勾股定理解题．