Question

15．在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E作EF⊥BD交BC于点F．
（1）如图1，连接DF，若BE=3，DF=5，求CF的长；
（2）如图2，将△BEF绕点B旋转α度（0°＜α＜45°），连接DF，取DF的中点G，求证：EG=CG，EG⊥CG．

Answer 1

分析 （1）根据△BEF是等腰直角三角形，求得BF=3$\sqrt{2}$，根据Rt△DEF，求DE=4，进而得到BD=7，再根据Rt△BCD中，BC=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$，即可得出CF=BC-BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC，先判定△HFG≌△CDG（SAS），得到HF=CD，∠GHF=∠GCD，再判定△BEC≌△FEH（SAS），即可得到HE=EC，∠BEC=∠FEH，进而得出△ECH为等腰直角三角形，据此可得EG=CG，EG⊥CG．

解答 解：（1）如图1，连接DF，
∵EF⊥BD，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF=3，
∴BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵DF=5，
∴Rt△DEF中，DE=$\sqrt{D{F}^{2}-E{F}^{2}}$=4，
∴BD=3+4=7，
∴Rt△BCD中，BC=$\frac{BD}{\sqrt{2}}$=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$，
∴CF=BC-BF=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$-3$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（2）证明：如图2，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．
∵G是DF的中点，
∴GF=GD，
在△HFG和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{GF=GD}\\{∠HGF=∠CGD}\\{HG=CG}\end{array}\right.$，
∴△HFG≌△CDG（SAS），
∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，
∴HF∥CD，
∵正方形ABCD，
∴HF=BC，HF⊥BC，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，
在△BEC和△FEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=EF}\\{∠EBC=∠HFE}\\{BC=FH}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△FEH（SAS），
∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，
∴∠BEF=∠HEC=90°，
∴△ECH为等腰直角三角形，
又∵CG=GH，
∴EG=CG且EG⊥CG．

点评 本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及正方形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，依据等腰直角三角形的性质进行求解．