Question

16．如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，BE=DF．
矩形AEGF的边EG与边CD相交于点H．设BE=x，四边形DHGF的面积为y．
（1）求：y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当BE为何值时，四边形DHGF的面积最大？

Answer 1

分析 （1）由四边形AEGF为矩形，ABCD为正方形，得到三个角为直角，进而确定出四边形DHGF为矩形，表示出DH，由DF与DH乘积列出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（2）二次函数解析式配方后，利用二次函数性质确定出四边形DHGF面积最大值，以及此时BE的值即可．

解答 解：（1）∵AEGF为矩形，ABCD为正方形，
∴∠F=∠G=∠HDF=90°，
∴四边形DHGF是矩形，
又DH=AE=AB-BE=4-x，
∴y=DF•DH=x（4-x）=-x²+4x（0＜x＜4）；
（2）y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∵a=-1＜0，
∴当x=2时，y有最大值为4，
则当BE为2时，四边形DHGF的面积最大，最大值是4．

点评 此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．