Question

19．如图1，A（a，0），B（0，b）分别是x轴正半轴，y轴正半轴上的点，C（0，m）是线段OB上的点，且满足a+b=8，$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=2．
（1）求△AOB的面积；
（2）若m是方程$\frac{1}{x-1}$+$\frac{3}{x+1}$=$\frac{6}{{x}^{2}-1}$的解，过O作OD⊥AC于H，交AB于D，求证：∠OCA=∠BCD；
（3）如图2，过C作CE⊥AC，且CE=AC，连结BE，当C在线段OB上运动时，求∠EBC的度数．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得出（a-b）²=0，求出a=b=$\frac{8}{2}$=4，得出A（4，0），B（0，4），OA=OB=4，即可求出△AOB的面积；
（2）解分式方程得出m=2，得出C（0，2），证出C是OB的中点，即OC=BC，作∠AOB的平分线交AC于G，由ASA证明△AOG≌△OBD，得出OG=BD，由SAS证明△CBD≌△COG，即可得出∠OCA=∠BCD；
（3）在OA上截取AH=BC，由SAS证明△BCE≌△HAC，得出∠EBC=∠CHA，求出OH=OC，由等腰直角三角形的性质得出∠OHC=45°，求出∠CHA=135°，即可得出结论．

解答 （1）解：∵a+b=8，$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=2．
∴$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}}{ab}=2$，
∴a²+b²=2ab，
∴a²+b²-2ab=0，即（a-b）²=0，
∴a=b=$\frac{8}{2}$=4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，
∴△AOB的面积=$\frac{1}{2}$×4×4=8；
（2）证明：$\frac{1}{x-1}$+$\frac{3}{x+1}$=$\frac{6}{{x}^{2}-1}$，
去分母得：x+1+3（x-1）=6，
解得：x=2，
经检验：x=2是原方程的解，
∴m=2，
∴C（0，2），
∴C是OB的中点，即OC=BC，
作∠AOB的平分线交AC于G，如图1所示：
则∠AOG=∠COG=45°，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠B=45°=∠AOG，
∵OD⊥AC，∠AOC=90°，
∴∠BOD=∠OAG，
在△AOG和△OBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOG=∠B}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\\{∠OAG=∠BOD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△OBD（ASA），
∴OG=BD，
在△CBD和△COG中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=OC}&{\;}\\{∠B=∠COG=45°}&{\;}\\{BD=OG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△COG（SAS），
∴∠OCA=∠BCD；
（3）解：在OA上截取AH=BC，如图2所示：
∵CE⊥AC，
∴∠BCE+∠OCA=90°，
∵∠OCA+∠HAC=90°，
∴∠BCE=∠HAC，
在△BCE和△HAC中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=HA}&{\;}\\{∠BCE=∠HAC}&{\;}\\{CE=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△HAC（SAS），
∴∠EBC=∠CHA，
∵OA=OB，
∴OA-AH=OB-BC，即OH=OC，
∴∠OHC=45°，
∴∠CHA=135°，
∴∠EBC=135°．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、分式方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．