Question

如图，△ABC及△CDE均为等边三角形，B、C、E、在同一直线上．AE与BD相交于O，则下列结论中正确的有

①△ACE≌△BCD；

②∠AOB=∠ACB；

③AC∥DE；

④OC平分∠ACD

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①③④

Answer 1

C
分析：根据等边三角形性质得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，推出∠BCD=∠ACE，利用SAS证明△ACE≌△BCD，判断①正确；
由△ACE≌△BCD，得出∠CAE=∠CBD，又根据三角形外角的性质有∠AOB=∠CBD+∠AEC，∠ACB=∠CAE+∠AEC，判断②正确；
由等边三角形的性质得出∠ACB=∠DEC=60°，根据平行线的判定定理判断③正确；
先证明∠MOC=∠NOC，再证明∠OMC≠∠ONC，然后根据三角形内角和定理证明∠MCO≠∠NCO，判断④错误．
解答：①∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），①正确；
②∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
又∵∠AOB=∠CBD+∠AEC，∠ACB=∠CAE+∠AEC，
∴∠AOB=∠ACB，②正确；
③∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴∠ACB=∠DEC=60°，
∴AC∥DE，③正确；
④设AC与BD交于点M，AE与CD交于点N．
由②可知，∠AOB=∠ACB=60°，
∴∠MON=120°．
由①△ACE≌△BCD，可得∠CAE=∠CBD，即∠MAO=∠MBC，
又∵∠AMO=∠BMC，
∴△AMO∽△BMC，
∴=，
∵∠AMB=∠OMC，
∴△AMB∽△OMC，
∴∠MAB=∠MOC=60°，
∴∠NOC=∠MON-∠MOC=60°．
∵∠OMC=∠OBC+∠BCA=∠EAC+60°，
∠ONC=∠OEC+∠NCE=∠AEC+60°，
在△ACE中，∵AC≠CE，
∴∠EAC≠∠AEC，
∴∠OMC≠∠ONC，
∵∠MCO=180°-∠MOC-∠OMC=180°-60°-∠OMC=120°-∠OMC，
∠NCO=180°-∠NOC-∠ONC=180°-60°-∠ONC=120°-∠ONC，
∴∠MCO≠∠NCO，即OC不平分∠ACD，④错误．
故选C．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，平行线的判定，三角形的内角和定理及外角的性质，相似三角形的性质与判定，题目具有一定的代表性，有一定的难度．当题中出现两个等边三角形时，常见的两对三角形对应全等等知识点应牢固掌握．得到其中的三角形相似并且利用相似的性质是本题的难点．