【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=10,E为AB上一点,且AE= AB=a,连结DE,F是DE中点,连结BF,以BF为直径作⊙O.
(1)用a的代数式表示DE2= , BF2=;
(2)求证:⊙O必过BC的中点;
(3)若⊙O与矩形ABCD各边所在的直线相切时,求a的值;
(4)作A关于直线BF的对称点A′,若A′落在矩形ABCD内部(不包括边界),则a的取值范围 . (直接写出答案)
【答案】
(1)a2+100,
(2)证明:如图1,设⊙O交BC于H,连接FH,
∵BF是⊙O的直径,
∴∠BHF=90°,
∴∠ABC=∠BHF=∠AGF=90°,
∴四边形BGFH是矩形,
∴BH=GF= AD= BC,
∴H是BC的中点,
即:⊙O必过BC的中点
(3)解:分两种情况:
①如图2,当⊙O与边CD相切时,设切点为M,连接OM、FH交于N,则OM⊥CD,
∴OM=ON+MN= +5= ,
∵OM⊥FH,
∴NF= FH= × = a,
Rt△ONF中,ON2+NF2=OF2=OM2,
∴ +( )2= ,
a= ,
∵a>0,
∴a= ,
②如图3,当⊙O与边AD相切时,设切点为Q,
连接OQ,则OQ⊥AD,连接FG,交OQ于P,
∴OQ=OP+PQ= BG+AG= + = a,
由(1)知: 且BF=2OQ,
∴25+ a2=(2× a)2,
a= ,
综上所述,若⊙O与矩形ABCD各边所在的直线相切时,a的值为 或
(4) <a<
【解析】解:(1)如图1,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
在Rt△AED中,AE=a,AD=10,
由勾股定理得:ED2=AE2+AD2=a2+102=a2+100,
设⊙O交AB于G,连接FG,
∵BF是⊙O的直径,
∴∠BGF=90°,
∵∠A=90°,
∴∠BGF=∠A,
∴FG∥AD,
∵F是ED的中点,
∴GF= AD=5,EG=AG= a,
∵AE= AB=a,
∴AB=4a,
∴BG=4a﹣ a= a,
由勾股定理得:BF2=BG2+GF2,
∴BF2= +52= +25= ,
所以答案是:a2+100; ;
⑷如图4,当A的对称点A′恰好在边BD上时,连接AA′交BF于H,连接AF、A′F,过F作MN⊥BC,交BC于M,交AD于N,则MN⊥AD,
∵A关于直线BF的对称点A′,
∴BF是AA′的垂直平分线,
∴AF=A′F,AB=A′B=4a,
由(1)(2)得:FN= a,FM= a,A′M=4a﹣5,AN=5,
由勾股定理得: =(4a﹣5)2+ ,
解得:a1=0(舍),a2= ,
∴当a< 时,A′落在矩形ABCD外部(包括边界),
如图5,当A′落在边CD上时,连接AA′、A′B,过F作MG⊥AB,则MG⊥CD,
设射线BF交AD于N,
易得A′G=AM=DG= a,A′C=3a,
∵BF是AA′的垂直平分线,
∴AB=A′B,
则(4a)2=102+(3a)2,
a= ,
∴a的取值范围是: <a< ,
所以答案是: <a< .
【考点精析】根据题目的已知条件,利用线段垂直平分线的性质和勾股定理的概念的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线;线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2.
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【题目】在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点(1,0).
(1)求抛物线的表达式;
(2)把﹣4<x<1时的函数图象记为H,求此时函数y的取值范围;
(3)在(2)的条件下,将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象H的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若直线y=x+b与图象M有三个公共点,求b的取值范围.
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【题目】【发现证明】
如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,试判断BE,EF,FD之间的数量关系.
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,通过证明△AEF≌△AGF;从而发现并证明了EF=BE+FD.
(1)【类比引申】如图2,点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上,∠EAF=45°,连接EF,请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系,并证明;
(2)【联想拓展】如图4,如图,∠BAC=90°,AB=AC,点E、F在边BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的长.
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【题目】下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.
已知:△ABC.
求作:△ABC的边BC上的高AD.
作法:①以点A为圆心,适当长为半径画弧,
交直线BC于点M,N;
②分别以点M,N为圆心,以大于MN的长为半径画弧,两弧相交于点P;
③作直线AP交BC于点D,则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高.
根据小芸设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明:
证明:∵AM= ,MP= ,
∴AP是线段MN的垂直平分线.( )(填推理的依据)
∴AD⊥BC于D,即线段AD为△ABC的边BC上的高.
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【题目】如图, 中, , , 是过 点的一条直线
(1)作 于点, 点,若点和点在直线的同侧,求证: ;
(2)若直线绕点旋转到点和点在其两侧,其余条件不变,问:的关系如何?请予以证明.
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【题目】一般情况下,不成立,但有些数可以使得它成立,例如:a=1,b=2.我们称使得成立的一对数a,b为“相伴数对”,记为(a,b).
(1)判断数对(﹣2,1),(3,3)是否是“相伴数对”;
(2)若(k,﹣1)是“相伴数对”,求k的值;
(3)若(4,m)是“相伴数对”,求代数式的值.
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【题目】如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上.
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1;
(2)在直线l上找出一点P,使得|PA﹣PC|的值最大;(保留作图痕迹并标上字母P)
(3)在直线l上找出一点Q,使得QA+QC1的值最小;(保留作图痕迹并标上字母Q)
(4)在正方形网格中存在 个格点,使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形.
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