Question

如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BAD．
（1）求证：CD=CB；
（2）若AB=3，AC=5，求AD的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在AB上取一点E，使得AD=AE，易证∠CAE=∠CAD，即可证明△ACD≌△ACE，可得∠D=∠AEC，CD=CE，即可证明∠B=∠BEC，可得BC=CE，即可解题；
（2）在AC上取一点E使得AE=AD，连接BD，易证△ADE和△BCD是等边三角形，可得AD=DE=AE，∠ADE=60°，CD=BD，∠CDB=60°，即可求得∠ADB=∠CDE，即可证明△ADB≌△EDC，可得CE=AB，即可解题．

解答：（1）证明：在AB上取一点E，使得AD=AE，

∵AC平分∠BAD，
∴∠CAE=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，

AD=AE ∠CAE=∠CAD AC=AC

，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴∠D=∠AEC，CD=CE，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AEC+∠BEC=180°，
∴∠B=∠BEC，
∴BC=CE，
∴BC=CD；
（2）解：在AC上取一点E使得AE=AD，连接BD，

∵∵AC平分∠BAD，
∴∠CAE=∠CAD=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=60°，
∵∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD=BD，∠CDB=60°，
∵∠CDE+∠BDE=∠CDB=60°，∠ADB+∠BDE=∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠CDE，
在△ADB和△EDC中，

AD=DE ∠ADB=∠CDE CD=BD

，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴CE=AB，
∵AC=AE+CE，
∴AC=AD+AB，
∴AD=AC-AB=2．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形的判定和性质，本题中求证△ACD≌△ACE和△ADB≌△EDC是解题的关键．