已知:关于x的方程(a-1)x2-(a+1)x+2=0.
(1)当a取何值时,方程(a-1)x2-(a+1)x+2=0有两个不相等的实数根;
(2)当整数a取何值时,方程(a-1)x2-(a+1)x+2=0的根都是正整数.
【答案】
分析:(1)根据关于x的方程(a-1)x
2-(a+1)x+2=0有两个不相等的实数根,则△>0,且二次项系数不为0,列出不等式组,即可求出a的取值范围.
(2)分a-1=0和a-1≠0两种情况讨论,①当a-1=0时,即a=1时,原方程变为-2x+2=0.方程的解为 x=1; ②根据方程有实数根,得出判别式≥0,再利用公式法求出方程的根,根据方程(a-1)x
2-(a+1)x+2=0都是正整数根,得出a的取值范围,即可得出答案.
解答:解:(1)∵方程(a-1)x
2-(a+1)x+2=0有两个不相等的实数根,
∴
,
即
,
∴a≠1且a≠3.
(2)①当a-1=0时,即a=1时,原方程变为-2x+2=0.
方程的解为 x=1;
②当a-1≠0时,原方程为一元二次方程(a-1)x
2-(a+1)x+2=0.
△=b
2-4ac=[-(a+1)]
2-4(a-1)•2=(a-3)
2≥0.
x=
,解得x
1=1,x
2=
.
∵方程(a-1)x
2-(a+1)x+2=0都是正整数根.
∴只需
为正整数.
∴当a-1=1时,即a=2时,x
2=2;
当a-1=2时,即a=3时,x
2=1;
∴a取1,2,3时,方程(a-1)x
2-(a+1)x+2=0的根都是正整数.
点评:本题主要考查了一元二次方程的根,根的判别式和公式法解一元二次方程.解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0,方程有两个不相等的实数根;(2)△=0,方程有两个相等的实数根;(3)△<0,方程没有实数根.