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(2006辽宁沈阳课改,25)如图①,在正方形ABCD中,点EF分别为边BCCD的中点,AFDE相交于点G,则可得结论:①AF=DE;②AFDE.(不需要证明)

图①

(1)如图②,若点EF不是正方形ABCD的边BCCD的中点,但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)

图②

(2)如图③,若点EF分别在正方形ABCD的边CP的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;

图③

(3)如图④,在(2)的基础上,连接AEEFA若点MNPQ分别为AEEFFDAD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种?并写出证明过程.

图④

答案:略
解析:

(1)成立

(2)成立

∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADF=DCE=90°,AD=CD

又∵EC=DF∴ΔADF≌ΔDCE,∴∠E=FAF=DE

又∵∠E+∠CDE=90°,∴∠F+∠CDE=90°,∴∠FGD=90°,∴AFDE

(3)正方形

证明:∵AM=MEAQ=DQ

MQED,同理NPED,∴MQNP

∴四边形MNPQ是平行四边形,又∵ME=MANE=NF,∴MNAF

又∵AF=ED,∴MQ=MN

∴平行四边形MNPQ是菱形.

AFEDMQED,∴AFMQ.又∵MNAF,∴MNMQ

∴ΔQMN=90°,∴菱形MNPQ是正方形.


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