(2013年四川泸州12分)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(1,),已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过三点A、B、O(O为原点).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上,是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)
解:(1)将A(﹣2,0),B(1,),O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c(a≠0),得:
,解得:。
∴所求抛物线解析式为。
(2)存在。理由如下:
如答图①所示,
∵,
∴抛物线的对称轴为x=﹣1。
∵点C在对称轴x=﹣1上,△BOC的周长=OB+BC+CO。
∵OB=2,∴要使△BOC的周长最小,必须BC+CO最小。
∵点O与点A关于直线x=﹣1对称,有CO=CA,
△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA,
∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小。
设直线AB的解析式为y=kx+t,则有:
,解得:。
∴直线AB的解析式为。
当x=﹣1时,,∴所求点C的坐标为(﹣1,)。
(3)设P(x,y)(﹣2<x<0,y<0),
则①
如答图②所示,过点P作PQ⊥y轴于点Q,PG⊥x轴于点G,过点A作AF⊥PQ轴于点F,过点B作BE⊥PQ轴于点E,则PQ=﹣x,PG=y,由题意可得:
将①代入②得:
,
∴当x=时,△PAB的面积最大,最大值为。
此时。
∴点P的坐标为(,)。
【解析】(1)直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式,可求解析式。
(2)因为点A,O关于对称轴对称,连接AB交对称轴于C点,C点即为所求,求直线AB的解析式,再根据C点的横坐标值,求纵坐标。
(3)设P(x,y)(﹣2<x<0,y<0),用割补法可表示△PAB的面积,根据面积表达式再求取最大值时,x的值。
考点:二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,轴对称的应用(线段和最小的问题),由实际问题列函数关系式,二次函数最值,转换思想的应用。
科目:初中数学 来源:2013年初中毕业升学考试(四川泸州卷)数学(解析版) 题型:解答题
(2013年四川泸州10分)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD2=CA•CB;
(2)求证:CD是⊙O的切线;
(3)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=,求BE的长.
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科目:初中数学 来源:2013年初中毕业升学考试(四川泸州卷)数学(解析版) 题型:解答题
(2013年四川泸州8分)如图,已知函数与反比例函数(x>0)的图象交于点A.将的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点B,与x轴交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)若,求反比例函数的解析式.
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科目:初中数学 来源:2013年初中毕业升学考试(四川泸州卷)数学(解析版) 题型:解答题
(2013年四川泸州8分)如图,为了测出某塔CD的高度,在塔前的平地上选择一点A,用测角仪测得塔顶D的仰角为30°,在A、C之间选择一点B(A、B、C三点在同一直线上).用测角仪测得塔顶D的仰角为75°,且AB间的距离为40m.
(1)求点B到AD的距离;
(2)求塔高CD(结果用根号表示).
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科目:初中数学 来源:2013年初中毕业升学考试(四川泸州卷)数学(解析版) 题型:解答题
(2013年四川泸州7分)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
(1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来;
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?
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科目:初中数学 来源:2013年初中毕业升学考试(四川泸州卷)数学(解析版) 题型:解答题
(2013年四川泸州7分)某校开展以感恩教育为主题的艺术活动,举办了四个项目的比赛,它们分别是演讲、唱歌、书法、绘画.要求每位同学必须参加,且限报一项活动.以九年级(1)班为样本进行统计,并将统计结果绘成如图1、图2所示的两幅统计图.请你结合图示所给出的信息解答下列问题.
(1)求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比?
(2)求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在扇形圆心角的度数?
(3)若该校九年级学生有600人,请你估计这次艺术活动中,参加演讲和唱歌的学生各有多少人?
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