【题目】已知:如图,在中,,,垂足为点,是外角的平分线,,垂足为点,连接交于点.
求证:四边形为矩形;
当满足什么条件时,四边形是一个正方形?并给出证明.
在的条件下,若,求正方形周长.
【答案】(1)证明见解析;(2)且时,四边形是一个正方形;证明见解析;(3)8;
【解析】
( 1 )根据等腰三角形的性质,可得 ∠ CAD=∠ BAC ,根据等式的性质,可得∠CAD+ ∠CAE=( ∠BAC+ ∠CAM )=90°,根据垂线的定义,可得∠ADC=∠CEA,根据矩形的判定,可得答案;
( 2 )根据等腰直角三角形的性质,可得AD与CD的关系,根据正方形的判定,可得答案;
( 3 )根据勾股定理,可得AD的长,根据正方形周长公式,可得答案.
∵,,垂足为点,
∴.
∵是外角的平分线,
∴.
∵与是邻补角,
∴,
∴.
∵,,
∴,
∴四边形为矩形;
(2)且时,四边形是一个正方形,
∵且,,
∴,,
∴,
∴.
∵四边形为矩形,
∴四边形为正方形;
由勾股定理,得
,,
即,
,
正方形周长.
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【题目】如图(1),P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.
(1)如果点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°.
①求证:△ABP∽△BCP;
②若PA=3,PC=4,则PB= .
(2)已知锐角△ABC,分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD 相交于P点.如图(2)
①求∠CPD的度数;
②求证:P点为△ABC的费马点.
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【题目】如图,直线l1:y=﹣x+m与x轴交于点A,直线l2:y=2x+n与y轴交于点B,与直线l1交于点P(2,2),则△PAB的面积为_____.
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【题目】如图,甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城,在整个行驶过程中,甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(时)之间的关系如图所示,观察图象回答下列问题:
(1)A,B两城相距 千米
(2)若两车同时出发,乙车将比甲车早到 小时.
(3)乙车的函数关系式为 .
(4)甲车出发 少时两车相遇.
(5)当乙车行驶过程中/车出发 小时,甲、乙两车相距40千米.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB,于点E
(1)求证:△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长。
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【题目】从安陆到武汉市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程是100千米,普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍.
(1)求普通列车的行驶路程;
(2)设计高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短45分钟,求高铁的平均速度.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,直线y=2x+2与x轴,y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点M(a,4).
(1)求反比例函数y=(x>0)的表达式;
(2)若点C在反比例函数y=(x>0)的图象上,点D在x轴上,当四边形ABCD是平行四边形时,求点D的坐标.
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【题目】如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是( )
A. 2 B. C. D. 2
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