Question

如图AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点C，∠BPA的角平分线交AC于点E，交AB于点F，交⊙O于点D，∠B=60°，线段BF、AF是一元二次方程x²-kx+2

3

=0的两根（k为常数）．
（1）求证：PB•AE=PA•BF；
（2）求证：⊙O的直径是常数k；
（3）求：tan∠DPB．

Answer 1

分析：（1）根据弦切角定理和角平分线的定义发现两个全等三角形，根据全等三角形的性质进行证明；
（2）根据根与系数的关系即可证明；
（3）根据角平分线的定义，可以把∠DPB转化为∠APD，放到直角三角形APF中，只需求得AF和AP的长．根据根与系数的关系得到AF•BF=2

3

，根据三角形的外角的性质可以发现∠AFE=∠AEF，得到AE=AF．再结合相似三角形的性质得到AF：BF=AE：BF=AP：BP=sin60°=

3

2

．联立两个方程，即可求得AF、BF的长，即求得AB的长，根据锐角三角函数的概念进一步求得AP的长．

解答：（1）证明：∵PA切⊙O于点C，
∴∠PAE=∠B，又∠APE=∠BPF，
∴△PAE∽△PBF，
∴

PB

PA

=

BF

AE

，
即PB•AE=PA•BF．

（2）证明：∵线段BF、AF是一元二次方程x²-kx+2

3

=0的两根（k为常数），
根据根与系数的关系，得BF+AF=k，即AB=k．

（3）解：∵∠AEF=∠APF+∠CAP，∠AFP=∠B+∠BPF，
又∵∠APF=∠BPF，∠B=∠CAP，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
由（2）知△PAE∽△PBF，
∴

AE

BF

=

PA

PB

，
∴

AF

BF

=

PA

PB

=sin60°=

3

2

，
即

AF

BF

=

3

2

①，
AF•BF=2

3

②，
由①，②得，AE=

3

，BF=2，
AP=3+2

3

，
∴tan∠APE=

AF

AP

=2-

3

，
即tan∠DPB=2-

3

．

点评：此题综合运用了弦切角定理、根与系数的关系、相似三角形的性质和判定方法．