Question

已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G、∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．
（1）求证：△EGB是等腰三角形；
（2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小______度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，即可发现∠EBG=∠E=30°，从而证明结论；
（2）要使四边形ACDE成为以ED为底的梯形，则需BC⊥DE，即可求得∠BFD=30°．再根据30°的直角三角形的性质即可求解．
解答：（1）证明：∵∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，
∴∠EBF=60°，
∴∠EBG=∠EBF-∠ABC=60°-30°=∠E．
∴GE=GB，
则△EGB是等腰三角形；

（2）解：要使四边形ACDE成为以ED为底的梯形，
则需BC⊥DE，即可求得∠BFD=30°．
设BC与DE的交点是H．
在直角三角形DFE中，∠FDH=60°，DF=DE=2，
在直角三角形DFH中，FH=DF•cos∠BFD=2×cos30°=2×=．
则CH=BC-BH=AB•cos∠ABC-（BF-FH）=2-（2-）=3-2．
即此梯形的高是3-2．
故答案为：3-2．
点评：此题主要是考查了30°的直角三角形的性质．