Question

【题目】如图，抛物线经过点A(4，0)、B(1，0)，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一点，过点P作于点H，求线段PH长度的最大值．

（3）Q为抛物线上的一个动点（不与点A、B、C重合），轴于点M，是否存在点Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或

【解析】

（1）根据待定系数法解答即可；

（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 E，如图1，设点P的横坐标为t，则PE可用含t的代数式表示，易证△PEH∽△ACO，可得，于是PH可用含t的代数式表示，然后根据二次函数的性质即可求出PH长度的最大值；

（3）设Q点的横坐标为m，则Q点的纵坐标可用m的代数式表示，分三种情况：当1＜m＜4时，如图2；当m＞4时，如图3；当m＜1时，如图4，根据相似三角形的性质分与两种情况，建立关于m的方程求解即可．

解：（1）将 A（4，0）、B（1，0）代入，

得：，解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）将代入，得，∴．

设直线 AC 的解析式为，

将 A（4，0）代入，解得：，

∴直线 AC 的解析式为．

过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 E，如图1，

设 ，则．

∴．

∵∠PEH=∠ACO，∠PHE=∠AOC=90°，

∴△PEH∽△ACO，

∴，

∴．

∴当时，PH 有最大值；

（3）存在，点或或．

理由如下：

设Q点的横坐标为m，则Q点的纵坐标为﹣m2+m﹣2，

当1＜m＜4时，如图2，AM＝4﹣m，QM＝﹣m2+m﹣2，

又∵∠COA＝∠QMA＝90°，

∴①当时，△AQM∽△ACO，即4﹣m＝2（﹣m2+m﹣2），

解得：m＝2或m＝4（舍去），

此时Q（2，1）；

②当时，△AQM∽△CAO，即2（4﹣m）＝﹣m2+m﹣2，

解得：m＝4或m＝5（均不合题意，舍去）；

当m＞4时，如图3，AM＝m－4，QM＝m2－m+2，

又∵∠COA＝∠QMA＝90°，

∴①当时，△AQM∽△ACO，即m－4＝2（m2－m+2），

解得：m＝2或m＝4（均不合题意，舍去）；

②当时，△AQM∽△CAO，即2（m－4）＝m2－m+2，

解得：m＝5或m＝4（不合题意，舍去）；

∴Q（5，﹣2）；

当m＜1时，如图4，AM＝4－m，QM＝m2－m+2，

又∵∠COA＝∠QMA＝90°，

①当时，△AQM∽△ACO，即4﹣m＝2（m2－m+2），

解得：m＝0或m＝4（均不合题意，舍去）；

②当时，△AQM∽△CAO，即2（4﹣m）＝m2－m+2，

解得：m＝﹣3或m＝4（不合题意，舍去）；

∴Q（﹣3，﹣14）；

综上所述，符合条件的点Q为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）．