Question

（2013•苏州一模）如图①中，PB切半⊙O于B点，AB为直径，PA交⊙O于D点，连结BD，OD，已知图①中测得PD=2，AD=8．
（1）在图①中，求证：∠P=∠ODB；
（2）在图①中，求⊙O的半径；
（3）小军继续进行探究，在图①中保持⊙O的半径不变，且∠P的大小也不改变移动P点至图②位置，在移动过程中，小军发现DC的长度不改变，请求出DC的长度．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质得∠PBA=90°，根据圆周角定理的推论得到∠ADB=90°，再利用等角的余角相等得∠P=∠ABD，由OD=OB得∠OBD=∠ODB，然后利用等量代换即可得到∠P=∠ODB；
（2）易证得△ABD∽△APB，利用AD：AB=AB：AP可计算出AB，则即可得到⊙O的半径；
（3）先在图①中计算出cosP=

5

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，在图②中，作OH⊥DC于H，连结AC，根据垂径定理得DH=CH，由AB为直径得∠ACB=90°，由于∠P的大小不改变，则可判断∠PAC的大小也不改变，根据圆周角定理可判断DC的长度不改变，且∠DOC=2∠1，而∠DOC=2∠2，则∠1=∠2，根据等角的余角相等得∠P=∠ODH，所以cos∠ODH=cos∠P=

5

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，然后在Rt△OHD中利用余弦定理可计算出DH，则即可得到DC的长．

解答：（1）证明：如图①，
∵PB切半⊙O于B点，
∴PB⊥AB，
∴∠PBA=90°，
∴∠ABD+∠DBP=90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠P+∠DBP=90°，
∴∠P=∠ABD，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠P=∠ODB；

（2）解：如图①，
∵∠ADB=∠ABP=90°，
而∠DAB=∠BAP，
∴△ABD∽△APB，
∴AD：AB=AB：AP，
∴AB²=AD•AP=AD•（AD+PD）=8×10，
∴AB=4

5

，
∴⊙O的半径为2

5

；

（3）解：在图①中，PB=

PA2-AB2

=2

5

cosP=

PB

PA

=

2 5

10

=

5

5

，
在图②中，作OH⊥DC于H，连结AC，则DH=CH，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠P的大小不改变，
∴∠PAC的大小也不改变，
∴DC的长度不改变，
∵∠DOC=2∠1，
而∠DOC=2∠2，
∴∠1=∠2，
∴∠P=∠ODH，
∴cos∠ODH=cos∠P=

5

5

，
而OD=2

5

，
∴cos∠ODH=

DH

OD

=

5

5

，
∴DH=2，
∴DC=2DH=4．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论和切线的性质，且运用它们进行几何证明；会利用相似比、勾股定理和锐角三角函数的定义进行几何计算．