Question

设完全平方数A是11个连续整数的平方和，则A的最小值是

121

．

Answer 1

分析：设11个连续整数分别为：x-5，x-4，x-3，x-2，x-1，x，x+1，x+2，x+3，x+4，x+5．根据题意得A=（x-5）²+（x-4）²+（x-3）²+（x-2）²+（x-1）²+x²+（x+1）²+（x+2）²+（x+3）²+（x+4）²+（x+5）²=11x²+2×（1+4+9+16+25）=11（x²+10），再根据A为完全平方数，则有x²+10=11n，n为完全平方数，即可得到当n=1时，A的值最小．

解答：解：设11个连续整数分别为：x-5，x-4，x-3，x-2，x-1，x，x+1，x+2，x+3，x+4，x+5．
∴A=（x-5）²+（x-4）²+（x-3）²+（x-2）²+（x-1）²+x²+（x+1）²+（x+2）²+（x+3）²+（x+4）²+（x+5）²，
=11x²+2×（1+4+9+16+25），
=11x²+110，
=11（x²+10），
∵A为完全平方数，
∴x²+10=11n，n为完全平方数，
∴当n=1时，A的值最小．
此时A=11×11=121．
故答案为：121．

点评：本题考查了完全平方数的性质以及用代数式表示数的能力．